Analisis Vektor

Diberikan $\mathbf{A} = 2\hat{\mathbf{x}} - \hat{\mathbf{y}} + 3\hat{\mathbf{z}}$. Hitung besar vektor dan vektor satuan $\hat{\mathbf{A}}$.

Besaran: $|\mathbf{A}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14} \approx 3.742 \notag$

Vektor satuan: $\hat{\mathbf{A}} = \dfrac{2\hat{\mathbf{x}} - \hat{\mathbf{y}} + 3\hat{\mathbf{z}}}{\sqrt{14}} \approx 0.535\,\hat{\mathbf{x}} - 0.267\,\hat{\mathbf{y}} + 0.802\,\hat{\mathbf{z}} \notag$

Dua titik dalam ruang memiliki vektor posisi $\mathbf{r}_1 = \hat{\mathbf{x}} + 2\hat{\mathbf{y}} - \hat{\mathbf{z}}$ dan $\mathbf{r}_2 = 3\hat{\mathbf{x}} - \hat{\mathbf{y}} + 4\hat{\mathbf{z}}$. Hitung vektor perpindahan dari $P_1$ ke $P_2$ dan jarak antara kedua titik.

Vektor perpindahan: $\Delta\mathbf{r} = \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1 = (3-1)\hat{\mathbf{x}} + (-1-2)\hat{\mathbf{y}} + (4-(-1))\hat{\mathbf{z}} = 2\hat{\mathbf{x}} - 3\hat{\mathbf{y}} + 5\hat{\mathbf{z}} \notag$

Jarak: $|\Delta\mathbf{r}| = \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38} \approx 6.164 \notag$

Diberikan $\mathbf{A} = 3\hat{\mathbf{x}} - 2\hat{\mathbf{y}} + \hat{\mathbf{z}}$. Tentukan vektor $\mathbf{B}$ yang tegak lurus terhadap $\mathbf{A}$ dan terletak pada bidang $xy$ (tidak memiliki komponen $z$).

Misalkan $\mathbf{B} = B_x\hat{\mathbf{x}} + B_y\hat{\mathbf{y}}$. Syarat ortogonalitas: $\notag$

$\mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = 3B_x - 2B_y = 0 \quad\Longrightarrow\quad B_y = \tfrac{3}{2}B_x \notag$

Pilih $B_x = 2$ (sembarang nilai tak-nol), maka $B_y = 3$ dan $\mathbf{B} = 2\hat{\mathbf{x}} + 3\hat{\mathbf{y}}$. $\notag$

Verifikasi: $\mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = 3(2) + (-2)(3) + 1(0) = 6 - 6 + 0 = 0 \;\checkmark \notag$

Catatan: solusi tidak unik — setiap kelipatan $c\,(2\hat{\mathbf{x}} + 3\hat{\mathbf{y}})$ juga tegak lurus terhadap $\mathbf{A}$. Ruang semua vektor yang ortogonal terhadap $\mathbf{A}$ membentuk sub-ruang berdimensi dua (sebuah bidang) dalam $\mathbb{R}^3$. $\notag$

Diberikan $\mathbf{A} = \hat{\mathbf{x}} + \hat{\mathbf{y}} + \hat{\mathbf{z}}$ dan $\mathbf{B} = 2\hat{\mathbf{x}} - \hat{\mathbf{z}}$. Tentukan sudut $\theta$ antara keduanya.

Produk titik: $\mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = (1)(2) + (1)(0) + (1)(-1) = 1 \notag$

Besaran: $|\mathbf{A}| = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$, $\quad|\mathbf{B}| = \sqrt{4+0+1} = \sqrt{5} \notag$

Sudut: $\cos\theta = \dfrac{\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}}{|\mathbf{A}|\,|\mathbf{B}|} = \dfrac{1}{\sqrt{15}} \approx 0.2582 \notag$

Sehingga $\theta = \arccos(1/\sqrt{15}) \approx 75.0° \notag$

Dengan $\mathbf{A} = 3\hat{\mathbf{x}} + 2\hat{\mathbf{y}} - \hat{\mathbf{z}}$ dan $\mathbf{B} = \hat{\mathbf{x}} + \hat{\mathbf{y}} + 2\hat{\mathbf{z}}$, tentukan komponen $\mathbf{A}$ yang sejajar dan tegak lurus terhadap $\mathbf{B}$.

Produk titik: $\mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = 3 + 2 - 2 = 3$, $\quad|\mathbf{B}|^2 = 1+1+4 = 6 \notag$

Komponen sejajar: $\mathbf{A}_{\parallel} = \text{proj}_{\mathbf{B}}\mathbf{A} = \dfrac{3}{6}\,\mathbf{B} = \dfrac{1}{2}\hat{\mathbf{x}} + \dfrac{1}{2}\hat{\mathbf{y}} + \hat{\mathbf{z}} \notag$

Komponen tegak lurus: $\mathbf{A}_{\perp} = \mathbf{A} - \mathbf{A}_{\parallel} = \dfrac{5}{2}\hat{\mathbf{x}} + \dfrac{3}{2}\hat{\mathbf{y}} - 2\hat{\mathbf{z}} \notag$

Verifikasi: $\mathbf{A}_{\parallel}\cdot\mathbf{A}_{\perp} = \frac{1}{2}\cdot\frac{5}{2} + \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2} + (1)(-2) = \frac{5}{4} + \frac{3}{4} - 2 = 0 \;\checkmark \notag$

Dan $\mathbf{A}_{\parallel} + \mathbf{A}_{\perp} = \mathbf{A} \;\checkmark \notag$

Tiga titik membentuk segitiga: $P_1 = (0,0,0)$, $P_2 = (2,1,0)$, $P_3 = (1,3,2)$. Hitung luas segitiga ini.

Vektor sisi: $\mathbf{a} = P_2 - P_1 = 2\hat{\mathbf{x}} + \hat{\mathbf{y}}$, $\quad\mathbf{b} = P_3 - P_1 = \hat{\mathbf{x}} + 3\hat{\mathbf{y}} + 2\hat{\mathbf{z}} \notag$

Produk silang: $\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \begin{vmatrix}\hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}} \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 2\end{vmatrix} = (2-0)\hat{\mathbf{x}} - (4-0)\hat{\mathbf{y}} + (6-1)\hat{\mathbf{z}} = 2\hat{\mathbf{x}} - 4\hat{\mathbf{y}} + 5\hat{\mathbf{z}} \notag$

$|\mathbf{a}\times\mathbf{b}| = \sqrt{4+16+25} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \notag$

Luas segitiga $= \dfrac{1}{2}|\mathbf{a}\times\mathbf{b}| = \dfrac{3\sqrt{5}}{2} \approx 3.354 \notag$

Dengan $\mathbf{A} = \hat{\mathbf{x}} + 2\hat{\mathbf{z}}$ dan $\mathbf{B} = 3\hat{\mathbf{x}} - \hat{\mathbf{y}} + \hat{\mathbf{z}}$, hitung $\mathbf{A}\times\mathbf{B}$ dan verifikasi bahwa hasilnya tegak lurus terhadap $\mathbf{A}$ dan $\mathbf{B}$.

$\mathbf{A}\times\mathbf{B} = \begin{vmatrix}\hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}} \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & -1 & 1\end{vmatrix} = (0\cdot1 - 2\cdot(-1))\hat{\mathbf{x}} - (1\cdot1 - 2\cdot3)\hat{\mathbf{y}} + (1\cdot(-1) - 0\cdot3)\hat{\mathbf{z}} = 2\hat{\mathbf{x}} + 5\hat{\mathbf{y}} - \hat{\mathbf{z}} \notag$

Verifikasi: $\mathbf{A}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B}) = (1)(2) + (0)(5) + (2)(-1) = 2 - 2 = 0 \;\checkmark \notag$

$\mathbf{B}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B}) = (3)(2) + (-1)(5) + (1)(-1) = 6 - 5 - 1 = 0 \;\checkmark \notag$

Hitung volume parallelepiped yang dibentuk oleh $\mathbf{A} = \hat{\mathbf{x}} + \hat{\mathbf{y}}$, $\mathbf{B} = \hat{\mathbf{y}} + \hat{\mathbf{z}}$, $\mathbf{C} = \hat{\mathbf{z}} + \hat{\mathbf{x}}$.

$V = |\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})| = \left|\begin{vmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{vmatrix}\right| = |1(1\cdot1 - 1\cdot0) - 1(0\cdot1 - 1\cdot1) + 0| = |1 + 1| = 2 \notag$

Verifikasi identitas BAC-CAB untuk $\mathbf{A} = \hat{\mathbf{x}} + 2\hat{\mathbf{y}}$, $\mathbf{B} = 2\hat{\mathbf{x}} - \hat{\mathbf{z}}$, $\mathbf{C} = \hat{\mathbf{y}} + 3\hat{\mathbf{z}}$.

Ruang kiri — $\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C})$:

$\mathbf{B}\times\mathbf{C} = \begin{vmatrix}\hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}} \\ 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 3\end{vmatrix} = (0\cdot3 - (-1)\cdot1)\hat{\mathbf{x}} - (2\cdot3 - (-1)\cdot0)\hat{\mathbf{y}} + (2\cdot1 - 0\cdot0)\hat{\mathbf{z}} = \hat{\mathbf{x}} - 6\hat{\mathbf{y}} + 2\hat{\mathbf{z}} \notag$

$\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) = \begin{vmatrix}\hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}} \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & -6 & 2\end{vmatrix} = 4\hat{\mathbf{x}} - 2\hat{\mathbf{y}} - 8\hat{\mathbf{z}} \notag$

Ruang kanan — $\mathbf{B}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}) - \mathbf{C}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})$:

$\mathbf{A}\cdot\mathbf{C} = 0 + 2 + 0 = 2$, $\quad\mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = 2 + 0 + 0 = 2 \notag$

$\mathbf{B}(2) - \mathbf{C}(2) = 4\hat{\mathbf{x}} - 2\hat{\mathbf{z}} - 2\hat{\mathbf{y}} - 6\hat{\mathbf{z}} = 4\hat{\mathbf{x}} - 2\hat{\mathbf{y}} - 8\hat{\mathbf{z}} \notag$

Kedua ruas sama: $4\hat{\mathbf{x}} - 2\hat{\mathbf{y}} - 8\hat{\mathbf{z}} \;\checkmark \notag$

Tentukan apakah $\mathbf{A} = 2\hat{\mathbf{x}} - \hat{\mathbf{y}} + \hat{\mathbf{z}}$, $\mathbf{B} = \hat{\mathbf{x}} + \hat{\mathbf{y}} - 2\hat{\mathbf{z}}$, dan $\mathbf{C} = 3\hat{\mathbf{x}} - 3\hat{\mathbf{y}} + 5\hat{\mathbf{z}}$ koplanar.

Tiga vektor koplanar jika dan hanya jika produk tripel skalar bernilai nol:

$\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) = \begin{vmatrix}2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \\ 3 & -3 & 5\end{vmatrix} \notag$

$= 2(5-6) - (-1)(5-(-6)) + 1(-3-3) = 2(-1) + 1(11) + 1(-6) = -2+11-6 = 3 \neq 0 \notag$

Karena $\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) = 3 \neq 0$, ketiga vektor tidak koplanar — mereka membentuk basis linear-independen di $\mathbb{R}^3$. $\notag$

Diberikan $T(x,y,z) = 3x^2y - y^2z$. Hitung $\nabla T$ dan turunan arah di titik $P = (1, -1, 2)$ searah vektor $\mathbf{v} = 2\hat{\mathbf{x}} + \hat{\mathbf{y}} - 2\hat{\mathbf{z}}$.

Gradient: $\nabla T = 6xy\,\hat{\mathbf{x}} + (3x^2 - 2yz)\,\hat{\mathbf{y}} - y^2\,\hat{\mathbf{z}} \notag$

Di titik $P$: $\nabla T\big|_P = 6(1)(-1)\hat{\mathbf{x}} + (3 - 2(-1)(2))\hat{\mathbf{y}} - (-1)^2\hat{\mathbf{z}} = -6\hat{\mathbf{x}} + 7\hat{\mathbf{y}} - \hat{\mathbf{z}} \notag$

Vektor satuan: $\hat{\mathbf{v}} = \dfrac{2\hat{\mathbf{x}} + \hat{\mathbf{y}} - 2\hat{\mathbf{z}}}{\sqrt{4+1+4}} = \dfrac{1}{3}(2\hat{\mathbf{x}} + \hat{\mathbf{y}} - 2\hat{\mathbf{z}}) \notag$

Turunan arah: $\nabla T\big|_P \cdot \hat{\mathbf{v}} = \dfrac{1}{3}[(-6)(2) + (7)(1) + (-1)(-2)] = \dfrac{1}{3}(-12+7+2) = -1 \notag$

Interpretasi: di titik $P$, fungsi $T$ menurun dengan laju 1 satuan per satuan panjang searah $\mathbf{v}$. Laju kenaikan maksimum adalah $|\nabla T|_P = \sqrt{36+49+1} = \sqrt{86} \approx 9.27$. $\notag$

Hitung $\nabla r$ di mana $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$. Ini adalah salah satu hasil paling penting dalam elektrodinamika.

$\dfrac{\partial r}{\partial x} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = \dfrac{x}{r}$, demikian pula untuk $y$ dan $z$. $\notag$

Sehingga: $\nabla r = \dfrac{x}{r}\,\hat{\mathbf{x}} + \dfrac{y}{r}\,\hat{\mathbf{y}} + \dfrac{z}{r}\,\hat{\mathbf{z}} = \dfrac{\mathbf{r}}{r} = \hat{\mathbf{r}} \notag$

Lebih umum, untuk $f(r)$ yang hanya bergantung pada $r$:

Contoh: $\nabla\!\left(\dfrac{1}{r}\right) = -\dfrac{1}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}} = -\dfrac{\mathbf{r}}{r^3}$ — ini muncul langsung dalam medan listrik muatan titik. $\notag$

Dalam elektrodinamika, sering kali perlu menghitung $\nabla\!\left(\dfrac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\right)$ di mana $\mathbf{r}'$ adalah vektor posisi sumber (konstan terhadap turunan). Tunjukkan bahwa:

Bukti. Misalkan $\boldsymbol{\mathscr{r}} = \mathbf{r}-\mathbf{r}' = (x-x')\hat{\mathbf{x}} + (y-y')\hat{\mathbf{y}} + (z-z')\hat{\mathbf{z}}$ dan $\mathscr{r} = |\boldsymbol{\mathscr{r}}|$. Karena $\nabla$ hanya beroperasi pada $\mathbf{r}$ (bukan $\mathbf{r}'$), kita peroleh: $\notag$

$\dfrac{\partial \mathscr{r}}{\partial x} = \dfrac{x-x'}{\mathscr{r}}$, sehingga $\nabla\mathscr{r} = \dfrac{\boldsymbol{\mathscr{r}}}{\mathscr{r}}$. Maka: $\notag$

$\nabla\!\left(\dfrac{1}{\mathscr{r}}\right) = -\dfrac{1}{\mathscr{r}^2}\nabla\mathscr{r} = -\dfrac{1}{\mathscr{r}^2}\cdot\dfrac{\boldsymbol{\mathscr{r}}}{\mathscr{r}} = -\dfrac{\boldsymbol{\mathscr{r}}}{\mathscr{r}^3} \;\blacksquare \notag$

Hitung divergensi dan curl dari $\mathbf{F} = x^2 y\,\hat{\mathbf{x}} + y^2 z\,\hat{\mathbf{y}} + z^2 x\,\hat{\mathbf{z}}$.

Divergensi: $\nabla\cdot\mathbf{F} = \dfrac{\partial}{\partial x}(x^2 y) + \dfrac{\partial}{\partial y}(y^2 z) + \dfrac{\partial}{\partial z}(z^2 x) = 2xy + 2yz + 2zx \notag$

Curl: $\nabla\times\mathbf{F} = \left(\dfrac{\partial(z^2 x)}{\partial y} - \dfrac{\partial(y^2 z)}{\partial z}\right)\hat{\mathbf{x}} - \left(\dfrac{\partial(z^2 x)}{\partial x} - \dfrac{\partial(x^2 y)}{\partial z}\right)\hat{\mathbf{y}} + \left(\dfrac{\partial(y^2 z)}{\partial x} - \dfrac{\partial(x^2 y)}{\partial y}\right)\hat{\mathbf{z}} \notag$

$= (0 - y^2)\hat{\mathbf{x}} - (z^2 - 0)\hat{\mathbf{y}} + (0 - x^2)\hat{\mathbf{z}} = -y^2\,\hat{\mathbf{x}} - z^2\,\hat{\mathbf{y}} - x^2\,\hat{\mathbf{z}} \notag$

Hitung divergensi dari $\mathbf{F} = \dfrac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2} = \dfrac{\mathbf{r}}{r^3}$ untuk $r \neq 0$. Medan ini persis berbentuk medan listrik muatan titik.

Dalam koordinat Kartesius, $\mathbf{F} = \dfrac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\hat{\mathbf{x}} + \dfrac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\hat{\mathbf{y}} + \dfrac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\hat{\mathbf{z}}$. $\notag$

Hitung $\dfrac{\partial F_x}{\partial x} = \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^{3/2} - x\cdot\frac{3}{2}(x^2+y^2+z^2)^{1/2}\cdot 2x}{(x^2+y^2+z^2)^3} = \dfrac{r^3 - 3x^2 r}{r^6} = \dfrac{r^2 - 3x^2}{r^5} \notag$

Dengan cara yang sama: $\dfrac{\partial F_y}{\partial y} = \dfrac{r^2-3y^2}{r^5}$, $\quad\dfrac{\partial F_z}{\partial z} = \dfrac{r^2-3z^2}{r^5} \notag$

$\nabla\cdot\mathbf{F} = \dfrac{3r^2 - 3(x^2+y^2+z^2)}{r^5} = \dfrac{3r^2 - 3r^2}{r^5} = 0 \quad (r \neq 0) \notag$

Medan $\hat{\mathbf{r}}/r^2$ adalah solenoidal di mana-mana kecuali di asal. Di $r=0$, divergensi "meledak" — hasilnya melibatkan fungsi delta Dirac: $\nabla\cdot(\hat{\mathbf{r}}/r^2) = 4\pi\,\delta^3(\mathbf{r})$. Ini adalah inti dari hukum Gauss untuk muatan titik. $\notag$

Hitung curl dari $\mathbf{F} = \dfrac{-y\,\hat{\mathbf{x}} + x\,\hat{\mathbf{y}}}{x^2+y^2}$. Medan ini mewakili medan magnetik dari kawat tak hingga berarus sepanjang sumbu $z$.

$F_x = \dfrac{-y}{x^2+y^2}$, $\quad F_y = \dfrac{x}{x^2+y^2}$, $\quad F_z = 0 \notag$

$\dfrac{\partial F_z}{\partial y} - \dfrac{\partial F_y}{\partial z} = 0 - 0 = 0 \notag$

$\dfrac{\partial F_x}{\partial z} - \dfrac{\partial F_z}{\partial x} = 0 - 0 = 0 \notag$

$\dfrac{\partial F_y}{\partial x} - \dfrac{\partial F_x}{\partial y} = \dfrac{(x^2+y^2) - x\cdot 2x}{(x^2+y^2)^2} - \dfrac{-(x^2+y^2) + y\cdot 2y}{(x^2+y^2)^2} = \dfrac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} + \dfrac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} = 0 \quad (x^2+y^2 \neq 0) \notag$

Jadi $\nabla\times\mathbf{F} = \mathbf{0}$ di mana-mana kecuali di sumbu $z$ ($x=y=0$). Di sumbu, curl "meledak" dan menghasilkan fungsi delta: $\nabla\times\mathbf{F} = 2\pi\,\delta(x)\delta(y)\,\hat{\mathbf{z}}$. Ini adalah versi 2D dari hukum Ampère untuk kawat tak hingga. $\notag$

Verifikasi $\nabla\times(\nabla T) = \mathbf{0}$ untuk $T = x^2 y + y^2 z + z^2 x$.

Gradient: $\nabla T = (2xy+z^2)\hat{\mathbf{x}} + (x^2+2yz)\hat{\mathbf{y}} + (y^2+2zx)\hat{\mathbf{z}} \notag$

Komponen-$x$ dari curl: $\dfrac{\partial(y^2+2zx)}{\partial y} - \dfrac{\partial(x^2+2yz)}{\partial z} = 2y - 2y = 0 \notag$

Komponen-$y$ dari curl: $\dfrac{\partial(2xy+z^2)}{\partial z} - \dfrac{\partial(y^2+2zx)}{\partial x} = 2z - 2z = 0 \notag$

Komponen-$z$ dari curl: $\dfrac{\partial(x^2+2yz)}{\partial x} - \dfrac{\partial(2xy+z^2)}{\partial y} = 2x - 2x = 0 \notag$

Konfirmasi: $\nabla\times(\nabla T) = \mathbf{0} \;\checkmark \notag$

Verifikasi aturan produk $\nabla\cdot(f\,\mathbf{A}) = (\nabla f)\cdot\mathbf{A} + f\,(\nabla\cdot\mathbf{A})$ untuk $f = x^2$ dan $\mathbf{A} = x\hat{\mathbf{x}} + y\hat{\mathbf{y}} + z\hat{\mathbf{z}}$.

Ruang kiri — hitung langsung: $f\,\mathbf{A} = x^3\hat{\mathbf{x}} + x^2 y\,\hat{\mathbf{y}} + x^2 z\,\hat{\mathbf{z}}$. $\notag$

$\nabla\cdot(f\,\mathbf{A}) = \dfrac{\partial}{\partial x}(x^3) + \dfrac{\partial}{\partial y}(x^2 y) + \dfrac{\partial}{\partial z}(x^2 z) = 3x^2 + x^2 + x^2 = 5x^2 \notag$

Ruang kanan — gunakan aturan produk: $\notag$

$\nabla f = 2x\,\hat{\mathbf{x}}$, sehingga $(\nabla f)\cdot\mathbf{A} = 2x\cdot x + 0 + 0 = 2x^2$. $\notag$

$\nabla\cdot\mathbf{A} = \dfrac{\partial x}{\partial x} + \dfrac{\partial y}{\partial y} + \dfrac{\partial z}{\partial z} = 3$, sehingga $f\,(\nabla\cdot\mathbf{A}) = x^2 \cdot 3 = 3x^2$. $\notag$

Total ruas kanan: $2x^2 + 3x^2 = 5x^2 \;\checkmark \notag$

Catatan lanjutan: Versi radial tiga dimensi $\nabla\cdot(r^n\,\hat{\mathbf{r}}) = (n+2)\,r^{n-1}$ memerlukan rumus divergensi dalam koordinat bola dan akan dibahas di Latihan setelah §1.6. $\notag$

Hitung $\nabla^2(1/r)$ untuk $r \neq 0$ dalam koordinat Kartesius.

Dari Contoh 1.15, kita sudah mengetahui $\nabla\cdot(\mathbf{r}/r^3) = 0$ untuk $r \neq 0$. Karena $\nabla(1/r) = -\mathbf{r}/r^3$ (Contoh 1.13), maka: $\notag$

$\nabla^2\!\left(\dfrac{1}{r}\right) = \nabla\cdot\!\left(\nabla\,\dfrac{1}{r}\right) = \nabla\cdot\!\left(-\dfrac{\mathbf{r}}{r^3}\right) = -\nabla\cdot\!\left(\dfrac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}\right) = 0 \quad (r \neq 0) \notag$

Jadi $\nabla^2(1/r) = 0$ di mana-mana kecuali di asal. Namun, di $r=0$ fungsi ini memiliki singularitas dan Laplacian "meledak". Hasil lengkapnya memerlukan fungsi delta Dirac (lihat §1.9): $\notag$

Ini adalah identitas Laplace paling penting dalam elektrodinamika — ia menyatakan bahwa $1/r$ adalah fungsi Green dari operator Laplacian di tiga dimensi, dan merupakan dasar solusi umum persamaan Poisson. Bukti formal menggunakan fungsi delta diberikan di Contoh 1.43. $\notag$

Verifikasi teorema divergensi $\displaystyle\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{a} = \int_{\mathcal{V}} (\nabla\cdot\mathbf{F})\,d\tau$ untuk medan $\mathbf{F} = x^2\hat{\mathbf{x}} + y^2\hat{\mathbf{y}} + z^2\hat{\mathbf{z}}$ pada kubus satuan $0 \leq x,y,z \leq 1$.

Ruang kanan — integral volume $\int_{\mathcal{V}}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,d\tau$:

Langkah 1 — hitung divergensi:

$\nabla\cdot\mathbf{F} = \dfrac{\partial}{\partial x}(x^2) + \dfrac{\partial}{\partial y}(y^2) + \dfrac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2x + 2y + 2z$

Langkah 2 — integralkan terhadap $x$ terlebih dahulu:

$\displaystyle\int_0^1 (2x+2y+2z)\,dx = \bigl[x^2 + 2xy + 2xz\bigr]_{x=0}^{x=1} = 1 + 2y + 2z$

Langkah 3 — integralkan terhadap $y$:

$\displaystyle\int_0^1 (1+2y+2z)\,dy = \bigl[y + y^2 + 2yz\bigr]_{y=0}^{y=1} = 1 + 1 + 2z = 2 + 2z$

Langkah 4 — integralkan terhadap $z$:

$\displaystyle\int_0^1 (2+2z)\,dz = \bigl[2z + z^2\bigr]_{z=0}^{z=1} = 2 + 1 = \boldsymbol{3}$

Ruang kiri — integral permukaan $\oint_{\mathcal{S}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{a}$. Kubus memiliki 6 sisi; kita hitung satu per satu. Pada setiap sisi, $d\mathbf{a} = \hat{\mathbf{n}}\,da$ dengan $\hat{\mathbf{n}}$ menunjuk ke luar.

Sisi $x=1$ ($\hat{\mathbf{n}} = +\hat{\mathbf{x}}$): $\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}} = x^2 = 1$. $\Phi_{x=1} = \displaystyle\int_0^1\!\!\int_0^1 1\;dy\,dz = \boldsymbol{1}$

Sisi $x=0$ ($\hat{\mathbf{n}} = -\hat{\mathbf{x}}$): $\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}} = -x^2 = 0$. $\Phi_{x=0} = \boldsymbol{0}$

Sisi $y=1$ ($\hat{\mathbf{n}} = +\hat{\mathbf{y}}$): $\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}} = y^2 = 1$. $\Phi_{y=1} = \boldsymbol{1}$

Sisi $y=0$ ($\hat{\mathbf{n}} = -\hat{\mathbf{y}}$): $\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}} = -y^2 = 0$. $\Phi_{y=0} = \boldsymbol{0}$

Sisi $z=1$ ($\hat{\mathbf{n}} = +\hat{\mathbf{z}}$): $\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}} = z^2 = 1$. $\Phi_{z=1} = \boldsymbol{1}$

Sisi $z=0$ ($\hat{\mathbf{n}} = -\hat{\mathbf{z}}$): $\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}} = -z^2 = 0$. $\Phi_{z=0} = \boldsymbol{0}$

Jumlahkan seluruh fluks dari keenam sisi:

$\Phi_{\text{total}} = \underbrace{(1+0)}_{\text{sisi }x} + \underbrace{(1+0)}_{\text{sisi }y} + \underbrace{(1+0)}_{\text{sisi }z} = \boldsymbol{3}$

Verifikasi: Ruas kiri (integral permukaan) $= 3$ = ruas kanan (integral volume) $\;\checkmark$

Hitung fluks $\mathbf{F} = \hat{\mathbf{r}}/r^2$ melalui permukaan bola $r = R$.

Pada permukaan bola, $d\mathbf{a} = \hat{\mathbf{r}}\,da$ dan $r = R$, sehingga: $\notag$

$\oint_{r=R} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{a} = \oint_{r=R} \frac{\hat{\mathbf{r}}}{R^2}\cdot\hat{\mathbf{r}}\,da = \frac{1}{R^2}\oint da = \frac{1}{R^2}\cdot 4\pi R^2 = 4\pi \notag$

Penting: Hasilnya $4\pi$ independen dari $R$! Ini bukan kebetulan — ia secara langsung mengarah ke hukum Gauss $\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{a} = Q_{\text{enc}}/\varepsilon_0$. Dengan teorema divergensi, karena $\nabla\cdot(\hat{\mathbf{r}}/r^2) = 0$ untuk $r\neq 0$, seluruh kontribusi fluks berasal dari singularitas di $r=0$, yaitu $\nabla\cdot(\hat{\mathbf{r}}/r^2) = 4\pi\delta^3(\mathbf{r})$. $\notag$

Gunakan teorema divergensi untuk menghitung volume bola radius $R$ dengan memilih $\mathbf{F} = \mathbf{r}/3$.

$\nabla\cdot\mathbf{F} = \nabla\cdot\dfrac{\mathbf{r}}{3} = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{\partial x}{\partial x} + \dfrac{\partial y}{\partial y} + \dfrac{\partial z}{\partial z}\right) = \dfrac{3}{3} = 1 \notag$

Oleh teorema Gauss: $V = \int_{\mathcal{V}} 1\,d\tau = \int_{\mathcal{V}} (\nabla\cdot\mathbf{F})\,d\tau = \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{a} = \oint \frac{\mathbf{r}}{3}\cdot\hat{\mathbf{r}}\,da \notag$

Pada permukaan bola, $\mathbf{r} = R\hat{\mathbf{r}}$, sehingga $\mathbf{F}\cdot d\mathbf{a} = \dfrac{R}{3}\,da$. Maka: $\notag$

$V = \dfrac{R}{3}\oint da = \dfrac{R}{3}\cdot 4\pi R^2 = \dfrac{4\pi R^3}{3} \;\checkmark \notag$

Trik ini — memilih $\mathbf{F}$ sehingga $\nabla\cdot\mathbf{F}=1$ — dapat digunakan untuk menghitung volume region apa pun melalui integral permukaan. $\notag$

Verifikasi teorema Stokes $\displaystyle\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l} = \int_{\mathcal{S}}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{a}$ untuk medan $\mathbf{F} = -y\hat{\mathbf{x}} + x\hat{\mathbf{y}} + z\hat{\mathbf{z}}$ pada kurva $\mathcal{C}$ berupa lingkaran $x^2+y^2=1$ di bidang $z=0$, dengan permukaan $\mathcal{S}$ berupa cakram datar yang dibatasi oleh lingkaran tersebut.

Tentukan orientasi: Pilih arah integrasi pada $\mathcal{C}$ berlawanan arah jarum jam (dilihat dari atas, arah $+z$). Oleh aturan tangan kanan, $\hat{\mathbf{n}} = \hat{\mathbf{z}}$ pada cakram.

Ruang kiri — integral garis $\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}$:

Parametrisasi: $\mathbf{r}(\phi) = \cos\phi\;\hat{\mathbf{x}} + \sin\phi\;\hat{\mathbf{y}}$, $\quad 0 \leq \phi \leq 2\pi$

$d\mathbf{l} = (-\sin\phi\;\hat{\mathbf{x}} + \cos\phi\;\hat{\mathbf{y}})\,d\phi$

$\mathbf{F}\big|_{\mathcal{C}} = -\sin\phi\;\hat{\mathbf{x}} + \cos\phi\;\hat{\mathbf{y}}$

$\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l} = (\sin^2\phi + \cos^2\phi)\,d\phi = d\phi$

$\displaystyle\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l} = \int_0^{2\pi} d\phi = \boldsymbol{2\pi}$

Ruang kanan — integral permukaan:

$\nabla\times\mathbf{F} = 2\hat{\mathbf{z}}$ (medan curl seragam)

$(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{a} = 2\,da$

$\displaystyle\int_{\mathcal{S}} 2\,da = 2 \times \pi(1)^2 = \boldsymbol{2\pi}$

Verifikasi: Ruas kiri $= 2\pi$ = ruas kanan $\;\checkmark$

Dalam elektrodinamika, teorema Stokes digunakan untuk menunjukkan bahwa GGL induksi $\mathcal{E} = \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = -\dfrac{d\Phi_B}{dt}$ setara dengan $\nabla\times\mathbf{E} = -\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$. Sebagai ilustrasi, jika $\mathbf{B} = B_0 t\,\hat{\mathbf{z}}$ dengan $B_0$ konstan, hitung GGL pada lingkaran radius $a$ di bidang $xy$.

$\mathcal{E} = \int_{\mathcal{S}}(\nabla\times\mathbf{E})\cdot d\mathbf{a} = -\int_{\mathcal{S}}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{a} = -\int_{\mathcal{S}} B_0\,\hat{\mathbf{z}}\cdot\hat{\mathbf{z}}\,da = -B_0\cdot\pi a^2 \notag$

Jadi $\mathcal{E} = -\pi a^2 B_0$, negatif menandakan arah GGL melawan perubahan fluks (hukum Lenz). $\notag$

Gunakan teorema Green untuk menghitung luas elips $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$.

Strategi: Pilih $F_x = -\dfrac{y}{2}$, $\quad F_y = \dfrac{x}{2}$ sehingga $\dfrac{\partial F_y}{\partial x} - \dfrac{\partial F_x}{\partial y} = \dfrac{1}{2} - \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 1$. Maka ruas kanan menjadi $\int_{\mathcal{R}} 1\,dx\,dy = $ luas daerah $\mathcal{R}$.

Parametrisasi elips: $x(t) = a\cos t$, $\quad y(t) = b\sin t$, $\quad 0 \leq t \leq 2\pi$ (berlawanan jarum jam).

Substitusi ke integral garis:

$-\dfrac{y}{2}\,dx + \dfrac{x}{2}\,dy = \dfrac{ab\sin^2 t}{2}\,dt + \dfrac{ab\cos^2 t}{2}\,dt = \dfrac{ab}{2}\,dt$

Integrasikan:

$A = \int_0^{2\pi}\dfrac{ab}{2}\,dt = \dfrac{ab}{2}\cdot 2\pi = \boldsymbol{\pi ab}$

Hasil ini konsisten dengan rumus luas elips standar. Untuk kasus khusus $a=b=R$, kita memperoleh $A = \pi R^2$ — luas lingkaran. $\notag$

Hitung $\nabla\cdot\mathbf{F}$ untuk $\mathbf{F} = s\,\hat{\mathbf{s}}$ (medan radial silinder) dalam koordinat silinder, lalu verifikasi dalam Kartesius.

Silinder: $\nabla\cdot(s\,\hat{\mathbf{s}}) = \dfrac{1}{s}\dfrac{\partial}{\partial s}(s\cdot s) + 0 + 0 = \dfrac{1}{s}\cdot 2s = 2 \notag$

Verifikasi Kartesius: $\mathbf{F} = s\,\hat{\mathbf{s}} = x\,\hat{\mathbf{x}} + y\,\hat{\mathbf{y}} \notag$

$\nabla\cdot\mathbf{F} = \dfrac{\partial x}{\partial x} + \dfrac{\partial y}{\partial y} + 0 = 1 + 1 = 2 \;\checkmark \notag$

Perhatikan bahwa faktor $1/s$ dalam rumus silinder tepat mengkompensasi fakta bahwa area cincin bertambah dengan $s$. $\notag$

Medan magnetik di dalam solenoid ideal tak hingga: $\mathbf{B} = B_0\,\hat{\mathbf{z}}$ (konstan). Hitung $\nabla\times\mathbf{B}$.

$\nabla\times\mathbf{B} = \left(\dfrac{1}{s}\dfrac{\partial B_0}{\partial \phi} - 0\right)\hat{\mathbf{s}} + \left(0 - \dfrac{\partial B_0}{\partial s}\right)\hat{\boldsymbol{\phi}} + \dfrac{1}{s}\left[\dfrac{\partial}{\partial s}(s\cdot 0) - 0\right]\hat{\mathbf{z}} = \mathbf{0} \notag$

Konsisten dengan hukum Ampère: di dalam solenoid (jauh dari ujung), tidak ada arus yang mengalir melalui permukaan yang dibungkus, sehingga $\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} = \mathbf{0}$. $\notag$

Tentukan koordinat bola $(r, \theta, \phi)$ dari titik $P$ dengan koordinat Kartesius $(1, 1, \sqrt{2})$.

$r = \sqrt{1^2+1^2+(\sqrt{2})^2} = \sqrt{4} = 2 \notag$

$\theta = \arccos\!\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \dfrac{\pi}{4} = 45° \notag$

$\phi = \arctan(1) = \dfrac{\pi}{4} = 45° \notag$

Jadi $P$ memiliki koordinat bola $(2, \pi/4, \pi/4)$. $\notag$

Tentukan koordinat silinder $(s, \phi, z)$ dari titik yang sama $P = (1, 1, \sqrt{2})$.

$s = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$, $\quad\phi = \arctan(1) = \dfrac{\pi}{4}$, $\quad z = \sqrt{2} \notag$

Jadi $P$ memiliki koordinat silinder $(\sqrt{2}, \pi/4, \sqrt{2})$. $\notag$

Hitung $\nabla\cdot\mathbf{F}$ untuk $\mathbf{F} = r^2\cos\theta\,\hat{\mathbf{r}}$.

$\nabla\cdot\mathbf{F} = \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}(r^2 \cdot r^2\cos\theta) = \dfrac{1}{r^2}\cdot 4r^3\cos\theta = 4r\cos\theta \notag$

Medan vektor potensial dari dipol magnetik $\mathbf{m} = m\hat{\mathbf{z}}$ adalah $\mathbf{A} = \dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{m\sin\theta}{r^2}\,\hat{\boldsymbol{\phi}}$. Hitung $\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}$.

Komponen-$r$: $\dfrac{1}{r\sin\theta}\left[\dfrac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\sin\theta\cdot\dfrac{\mu_0 m\sin\theta}{4\pi r^2}\right)\right] = \dfrac{\mu_0 m}{4\pi r^3\sin\theta}\cdot 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{\mu_0 m}{4\pi}\dfrac{2\cos\theta}{r^3} \notag$

Komponen-$\theta$: $\dfrac{1}{r}\left[-\dfrac{\partial}{\partial r}\!\left(r\cdot\dfrac{\mu_0 m\sin\theta}{4\pi r^2}\right)\right] = \dfrac{1}{r}\left[-\dfrac{\mu_0 m\sin\theta}{4\pi}\!\left(\dfrac{-1}{r^2}\right)\right] = \dfrac{\mu_0 m}{4\pi}\dfrac{\sin\theta}{r^3} \notag$

Komponen-$\phi$: $0$. Sehingga: $\notag$

Ini adalah ekspresi standar medan dipol magnetik yang akan kita temukan kembali di Bab 5. $\notag$

Hitung $\nabla^2(r\cos\theta)$ dan $\nabla^2(r^2\cos^2\theta)$.

Pertama: $T = r\cos\theta = z$. Karena $z$ adalah koordinat Kartesius, $\nabla^2 z = 0$. Verifikasi dalam koordinat bola:

Kedua: $T = r^2\cos^2\theta$.

Komponen radial: $\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}(2r^3\cos^2\theta) = 6\cos^2\theta$

Komponen angular: $\dfrac{-2}{\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial\theta}(\sin^2\theta\cos\theta) = -4\cos^2\theta + 2\sin^2\theta = 2 - 6\cos^2\theta$

Hasil ini konstan — $r^2\cos^2\theta$ bukan solusi persamaan Laplace. Namun, $T = r^2(\cos^2\theta - \frac{1}{3}) = \frac{1}{3}r^2(3\cos^2\theta-1)$ dijamin memenuhi $\nabla^2 T = 0$. ∎

Tunjukkan bahwa untuk setiap fungsi skalar $f(r)$, medan radial $\mathbf{F} = f(r)\,\hat{\mathbf{r}}$ memiliki curl nol.

Dengan $F_r = f(r)$, $F_\theta = 0$, $F_\phi = 0$, evaluasi setiap komponen curl:

Komponen-$r$: $\dfrac{1}{r\sin\theta}\left[\dfrac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\cdot 0) - \dfrac{\partial 0}{\partial\phi}\right] = 0 \notag$

Komponen-$\theta$: $\dfrac{1}{r}\left[\dfrac{1}{\sin\theta}\dfrac{\partial f(r)}{\partial\phi} - \dfrac{\partial}{\partial r}(r\cdot 0)\right] = 0 \notag$

Komponen-$\phi$: $\dfrac{1}{r}\left[\dfrac{\partial}{\partial r}(r\cdot 0) - \dfrac{\partial f(r)}{\partial\theta}\right] = 0 \notag$

Jadi $\nabla\times(f(r)\,\hat{\mathbf{r}}) = \mathbf{0}$ di mana-mana. $\notag$

Konsekuensi fisik: Medan listrik statis yang hanya memiliki komponen radial selalu konservatif — dapat ditulis sebagai gradient dari potensial skalar. $\notag$

Kelanjutan dari Contoh 1.23: untuk $\mathbf{F} = -y\hat{\mathbf{x}} + x\hat{\mathbf{y}} + z\hat{\mathbf{z}}$ dan lingkaran $\mathcal{C}$: $x^2+y^2=1$, $z=0$, hitung ulang menggunakan setengah bola $x^2+y^2+z^2=1$, $z\geq 0$.

Curl tetap $\nabla\times\mathbf{F} = 2\hat{\mathbf{z}}$. Pada permukaan bola: $d\mathbf{a} = \hat{\mathbf{r}}\sin\theta\,d\theta\,d\phi$ (dengan $R=1$). $\notag$

$(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{a} = 2\hat{\mathbf{z}}\cdot\hat{\mathbf{r}}\,\sin\theta\,d\theta\,d\phi = 2\cos\theta\,\sin\theta\,d\theta\,d\phi$ $\notag$

$\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi/2} 2\cos\theta\sin\theta\,d\theta\,d\phi = 2\pi\left[-\frac{1}{2}\cos(2\theta)\right]_0^{\pi/2} = 2\pi(1) = 2\pi \;\checkmark \notag$

Hasilnya identik dengan cakram datar — ini menunjukkan keindahan teorema Stokes: kita bebas memilih permukaan mana pun yang dibatasi oleh $\mathcal{C}$. $\notag$

Tunjukkan bahwa $\hat{\mathbf{r}} = \sin\theta\cos\phi\,\hat{\mathbf{x}} + \sin\theta\sin\phi\,\hat{\mathbf{y}} + \cos\theta\,\hat{\mathbf{z}}$ benar-benar merupakan vektor satuan.

$|\hat{\mathbf{r}}| = \sqrt{\sin^2\theta\cos^2\phi + \sin^2\theta\sin^2\phi + \cos^2\theta} = \sqrt{\sin^2\theta(\cos^2\phi+\sin^2\phi) + \cos^2\theta} = \sqrt{\sin^2\theta + \cos^2\theta} = 1 \;\checkmark \notag$

Ini mengonfirmasi bahwa transformasi $(r,\theta,\phi) \to (x,y,z)$ mempertahankan panjang — yaitu, ia adalah transformasi ortogonal. $\notag$

Vektor $\mathbf{F} = \hat{\mathbf{z}}$ dalam koordinat bola menjadi apa?

$\hat{\mathbf{z}} = \cos\theta\,\hat{\mathbf{r}} - \sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\theta}}$

Jadi dalam koordinat bola, medan seragam searah $\hat{\mathbf{z}}$ memiliki komponen $F_r = \cos\theta$ dan $F_\theta = -\sin\theta$, tanpa komponen $\phi$.

Aplikasi: Ini persis yang diperlukan untuk menghitung potensial listrik dari bola konduktor dalam medan listrik seragam (masalah klasik Bab 3).

Tunjukkan bahwa $\hat{\mathbf{x}}$ dapat ditulis dalam koordinat silinder dan verifikasi.

Dalam silinder: $\hat{\mathbf{x}} = \cos\phi\,\hat{\mathbf{s}} - \sin\phi\,\hat{\boldsymbol{\phi}}$.

Verifikasi: $\cos\phi\,\hat{\mathbf{s}} - \sin\phi\,\hat{\boldsymbol{\phi}} = \cos\phi(\cos\phi\,\hat{\mathbf{x}}+\sin\phi\,\hat{\mathbf{y}}) - \sin\phi(-\sin\phi\,\hat{\mathbf{x}}+\cos\phi\,\hat{\mathbf{y}})$

$= (\cos^2\phi+\sin^2\phi)\hat{\mathbf{x}} + (\cos\phi\sin\phi-\sin\phi\cos\phi)\hat{\mathbf{y}} = \hat{\mathbf{x}}$ $\;\checkmark$

Vektor satuan $\hat{\mathbf{s}}$, $\hat{\boldsymbol{\phi}}$, $\hat{\boldsymbol{\theta}}$, $\hat{\mathbf{r}}$ berubah arah dari titik ke titik, berbeda dengan $\hat{\mathbf{x}}$, $\hat{\mathbf{y}}$, $\hat{\mathbf{z}}$ yang konstan. Hitung $\partial\hat{\mathbf{r}}/\partial\theta$.

Dari ekspresi $\hat{\mathbf{r}} = \sin\theta\cos\phi\,\hat{\mathbf{x}} + \sin\theta\sin\phi\,\hat{\mathbf{y}} + \cos\theta\,\hat{\mathbf{z}}$:

$\dfrac{\partial\hat{\mathbf{r}}}{\partial\theta} = \cos\theta\cos\phi\,\hat{\mathbf{x}} + \cos\theta\sin\phi\,\hat{\mathbf{y}} - \sin\theta\,\hat{\mathbf{z}} = \hat{\boldsymbol{\theta}}$

Demikian pula: $\dfrac{\partial\hat{\mathbf{r}}}{\partial\phi} = -\sin\theta\sin\phi\,\hat{\mathbf{x}} + \sin\theta\cos\phi\,\hat{\mathbf{y}} = \sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\phi}}$

Hubungan lengkapnya:

Hubungan ini penting ketika menghitung turunan total dari vektor yang dinyatakan dalam basis kurvilinier.

Dalam elektrostatik, $\nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0}$ dan $\nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\varepsilon_0$. Gunakan identitas kurl-ganda untuk menurunkan persamaan Poisson.

Dari $\nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0}$, kita tahu $\mathbf{E}=-\nabla V$. Substitusi ke hukum Gauss:

$\nabla\cdot\mathbf{E} = \nabla\cdot(-\nabla V) = -\nabla^2 V = \rho/\varepsilon_0$

Di region tanpa muatan ($\rho=0$), ini menjadi $\nabla^2 V = 0$ (persamaan Laplace).

Dalam magnetostatik, $\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}$ dan $\nabla\cdot\mathbf{B}=0$. Gunakan identitas kurl-ganda.

$\nabla\times\mathbf{B} = \nabla\times(\nabla\times\mathbf{A}) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{A}) - \nabla^2\mathbf{A}$

Dengan pemilihan gauge Coulomb ($\nabla\cdot\mathbf{A}=0$):

Setiap komponen memenuhi persamaan Poisson skalar, sehingga solusinya langsung:

Ini adalah rumus integral umum untuk potensial vektor magnetik — paralel sempurna dengan $V(\mathbf{r}) = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\displaystyle\int \dfrac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\,d\tau'$ dalam elektrostatik.

Dalam derivasi hukum Biot–Savart, diperlukan $\nabla' (1/\mathscr{r})$ di mana $\nabla'$ beroperasi pada $\mathbf{r}'$. Tunjukkan bahwa $\nabla'(1/\mathscr{r}) = (\mathbf{r}-\mathbf{r}')/\mathscr{r}^3$.

Perhatikan bahwa $\nabla'(1/\mathscr{r}) = -\nabla(1/\mathscr{r})$. Hubungan simetris ini bertindak sebagai jembatan matematika utama dalam pembuktian kesetaraan hukum Biot–Savart terhadap hukum Ampère.

Verifikasi bahwa $\nabla\cdot(\hat{\mathbf{r}}/r^2) = 4\pi\delta^3(\mathbf{r})$ dengan mengintegralkan kedua ruas atas bola radius $R$.

Ruang kiri (integral divergensi = fluks, oleh Gauss):

$\int_{\mathcal{V}}\nabla\cdot\!\left(\frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}\right)d\tau = \oint_{r=R}\frac{\hat{\mathbf{r}}}{R^2}\cdot\hat{\mathbf{r}}\,da = \frac{1}{R^2}\cdot 4\pi R^2 = 4\pi$

Ruang kanan: $\int_{\mathcal{V}}4\pi\delta^3(\mathbf{r})\,d\tau = 4\pi\cdot 1 = 4\pi \;\checkmark$

Kedua ruas sama untuk setiap $R > 0$, mengkonfirmasi identitas.

Tunjukkan bahwa $\nabla^2(1/r) = -4\pi\delta^3(\mathbf{r})$ mengimplikasikan bahwa solusi umum persamaan Poisson $\nabla^2 V = -\rho/\varepsilon_0$ adalah $V(\mathbf{r}) = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\displaystyle\int\dfrac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\,d\tau'$.

Bukti sketsa. Tulis $V(\mathbf{r}) = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\displaystyle\int \dfrac{\rho(\mathbf{r}')}{\mathscr{r}}\,d\tau'$ dengan $\mathscr{r}=|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|$. Maka:

$\nabla^2 V = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \rho(\mathbf{r}')\,\nabla^2\!\left(\dfrac{1}{\mathscr{r}}\right)d\tau' = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \rho(\mathbf{r}')\,[-4\pi\delta^3(\mathbf{r}-\mathbf{r}')]\,d\tau' = -\dfrac{1}{\varepsilon_0}\rho(\mathbf{r}) \;\blacksquare$

Ini menunjukkan bahwa $G(\mathbf{r},\mathbf{r}') = 1/(4\pi|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|)$ adalah fungsi Green operator Laplacian di $\mathbb{R}^3$ — ia "membalikkan" operator $\nabla^2$. Konsep ini meluas ke persamaan gelombang dan persamaan Schrödinger.

Hitung $\hat{\mathbf{r}}\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{A}$ untuk $\mathbf{A} = A_r\hat{\mathbf{r}} + A_\theta\hat{\boldsymbol{\theta}} + A_\phi\hat{\boldsymbol{\phi}}$.

Jadi $\hat{\mathbf{r}}\hat{\mathbf{r}}$ adalah proyektor radial — ia mengekstrak komponen radial dari vektor apa pun. Demikian pula, $(\overline{\overline{\mathbf{I}}}-\hat{\mathbf{r}}\hat{\mathbf{r}})\cdot\mathbf{A} = A_\theta\hat{\boldsymbol{\theta}}+A_\phi\hat{\boldsymbol{\phi}}$ mengekstrak komponen transversal.