Analisis Vektor

Diberikan $\mathbf{A} = 2\hat{\mathbf{x}} - \hat{\mathbf{y}} + 3\hat{\mathbf{z}}$. Hitung besar vektor dan vektor satuan $\hat{\mathbf{A}}$.

Besaran: $|\mathbf{A}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14} \approx 3.742 \notag$

Vektor satuan: $\hat{\mathbf{A}} = \dfrac{2\hat{\mathbf{x}} - \hat{\mathbf{y}} + 3\hat{\mathbf{z}}}{\sqrt{14}} \approx 0.535\,\hat{\mathbf{x}} - 0.267\,\hat{\mathbf{y}} + 0.802\,\hat{\mathbf{z}} \notag$

Dua titik dalam ruang memiliki vektor posisi $\mathbf{r}_1 = \hat{\mathbf{x}} + 2\hat{\mathbf{y}} - \hat{\mathbf{z}}$ dan $\mathbf{r}_2 = 3\hat{\mathbf{x}} - \hat{\mathbf{y}} + 4\hat{\mathbf{z}}$. Hitung vektor perpindahan dari $P_1$ ke $P_2$ dan jarak antara kedua titik.

Vektor perpindahan: $\Delta\mathbf{r} = \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1 = (3-1)\hat{\mathbf{x}} + (-1-2)\hat{\mathbf{y}} + (4-(-1))\hat{\mathbf{z}} = 2\hat{\mathbf{x}} - 3\hat{\mathbf{y}} + 5\hat{\mathbf{z}} \notag$

Jarak: $|\Delta\mathbf{r}| = \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38} \approx 6.164 \notag$

Tunjukkan bahwa vektor satuan radial dalam koordinat bola dapat ditulis sebagai $\hat{\mathbf{r}} = \sin\theta\cos\phi\,\hat{\mathbf{x}} + \sin\theta\sin\phi\,\hat{\mathbf{y}} + \cos\theta\,\hat{\mathbf{z}}$.

Vektor posisi dalam Kartesius: $\mathbf{r} = x\hat{\mathbf{x}} + y\hat{\mathbf{y}} + z\hat{\mathbf{z}} = r\sin\theta\cos\phi\,\hat{\mathbf{x}} + r\sin\theta\sin\phi\,\hat{\mathbf{y}} + r\cos\theta\,\hat{\mathbf{z}} \notag$

Karena $\hat{\mathbf{r}} = \mathbf{r}/r$, maka: $\hat{\mathbf{r}} = \sin\theta\cos\phi\,\hat{\mathbf{x}} + \sin\theta\sin\phi\,\hat{\mathbf{y}} + \cos\theta\,\hat{\mathbf{z}} \notag$

Verifikasi: $|\hat{\mathbf{r}}| = \sqrt{\sin^2\theta\cos^2\phi + \sin^2\theta\sin^2\phi + \cos^2\theta} = \sqrt{\sin^2\theta(\cos^2\phi+\sin^2\phi) + \cos^2\theta} = \sqrt{\sin^2\theta + \cos^2\theta} = 1 \;\checkmark \notag$

Diberikan $\mathbf{A} = \hat{\mathbf{x}} + \hat{\mathbf{y}} + \hat{\mathbf{z}}$ dan $\mathbf{B} = 2\hat{\mathbf{x}} - \hat{\mathbf{z}}$. Tentukan sudut $\theta$ antara keduanya.

Produk titik: $\mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = (1)(2) + (1)(0) + (1)(-1) = 1 \notag$

Besaran: $|\mathbf{A}| = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$, $\quad|\mathbf{B}| = \sqrt{4+0+1} = \sqrt{5} \notag$

Sudut: $\cos\theta = \dfrac{\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}}{|\mathbf{A}|\,|\mathbf{B}|} = \dfrac{1}{\sqrt{15}} \approx 0.2582 \notag$

Sehingga $\theta = \arccos(1/\sqrt{15}) \approx 75.0° \notag$

Dengan $\mathbf{A} = 3\hat{\mathbf{x}} + 2\hat{\mathbf{y}} - \hat{\mathbf{z}}$ dan $\mathbf{B} = \hat{\mathbf{x}} + \hat{\mathbf{y}} + 2\hat{\mathbf{z}}$, tentukan komponen $\mathbf{A}$ yang sejajar dan tegak lurus terhadap $\mathbf{B}$.

Produk titik: $\mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = 3 + 2 - 2 = 3$, $\quad|\mathbf{B}|^2 = 1+1+4 = 6 \notag$

Komponen sejajar: $\mathbf{A}_{\parallel} = \text{proj}_{\mathbf{B}}\mathbf{A} = \dfrac{3}{6}\,\mathbf{B} = \dfrac{1}{2}\hat{\mathbf{x}} + \dfrac{1}{2}\hat{\mathbf{y}} + \hat{\mathbf{z}} \notag$

Komponen tegak lurus: $\mathbf{A}_{\perp} = \mathbf{A} - \mathbf{A}_{\parallel} = \dfrac{5}{2}\hat{\mathbf{x}} + \dfrac{3}{2}\hat{\mathbf{y}} - 2\hat{\mathbf{z}} \notag$

Verifikasi: $\mathbf{A}_{\parallel}\cdot\mathbf{A}_{\perp} = \frac{1}{2}\cdot\frac{5}{2} + \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2} + (1)(-2) = \frac{5}{4} + \frac{3}{4} - 2 = 0 \;\checkmark \notag$

Dan $\mathbf{A}_{\parallel} + \mathbf{A}_{\perp} = \mathbf{A} \;\checkmark \notag$

Tiga titik membentuk segitiga: $P_1 = (0,0,0)$, $P_2 = (2,1,0)$, $P_3 = (1,3,2)$. Hitung luas segitiga ini.

Vektor sisi: $\mathbf{a} = P_2 - P_1 = 2\hat{\mathbf{x}} + \hat{\mathbf{y}}$, $\quad\mathbf{b} = P_3 - P_1 = \hat{\mathbf{x}} + 3\hat{\mathbf{y}} + 2\hat{\mathbf{z}} \notag$

Produk silang: $\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \begin{vmatrix}\hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}} \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 2\end{vmatrix} = (2-0)\hat{\mathbf{x}} - (4-0)\hat{\mathbf{y}} + (6-1)\hat{\mathbf{z}} = 2\hat{\mathbf{x}} - 4\hat{\mathbf{y}} + 5\hat{\mathbf{z}} \notag$

$|\mathbf{a}\times\mathbf{b}| = \sqrt{4+16+25} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \notag$

Luas segitiga $= \dfrac{1}{2}|\mathbf{a}\times\mathbf{b}| = \dfrac{3\sqrt{5}}{2} \approx 3.354 \notag$

Dengan $\mathbf{A} = \hat{\mathbf{x}} + 2\hat{\mathbf{z}}$ dan $\mathbf{B} = 3\hat{\mathbf{x}} - \hat{\mathbf{y}} + \hat{\mathbf{z}}$, hitung $\mathbf{A}\times\mathbf{B}$ dan verifikasi bahwa hasilnya tegak lurus terhadap $\mathbf{A}$ dan $\mathbf{B}$.

$\mathbf{A}\times\mathbf{B} = \begin{vmatrix}\hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}} \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & -1 & 1\end{vmatrix} = (0\cdot1 - 2\cdot(-1))\hat{\mathbf{x}} - (1\cdot1 - 2\cdot3)\hat{\mathbf{y}} + (1\cdot(-1) - 0\cdot3)\hat{\mathbf{z}} = 2\hat{\mathbf{x}} + 5\hat{\mathbf{y}} - \hat{\mathbf{z}} \notag$

Verifikasi: $\mathbf{A}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B}) = (1)(2) + (0)(5) + (2)(-1) = 2 - 2 = 0 \;\checkmark \notag$

$\mathbf{B}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B}) = (3)(2) + (-1)(5) + (1)(-1) = 6 - 5 - 1 = 0 \;\checkmark \notag$

Hitung volume parallelepiped yang dibentuk oleh $\mathbf{A} = \hat{\mathbf{x}} + \hat{\mathbf{y}}$, $\mathbf{B} = \hat{\mathbf{y}} + \hat{\mathbf{z}}$, $\mathbf{C} = \hat{\mathbf{z}} + \hat{\mathbf{x}}$.

$V = |\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})| = \left|\begin{vmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{vmatrix}\right| = |1(1\cdot1 - 1\cdot0) - 1(0\cdot1 - 1\cdot1) + 0| = |1 + 1| = 2 \notag$

Verifikasi identitas BAC-CAB untuk $\mathbf{A} = \hat{\mathbf{x}} + 2\hat{\mathbf{y}}$, $\mathbf{B} = 2\hat{\mathbf{x}} - \hat{\mathbf{z}}$, $\mathbf{C} = \hat{\mathbf{y}} + 3\hat{\mathbf{z}}$.

Ruang kiri — $\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C})$:

$\mathbf{B}\times\mathbf{C} = \begin{vmatrix}\hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}} \\ 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 3\end{vmatrix} = (0\cdot3 - (-1)\cdot1)\hat{\mathbf{x}} - (2\cdot3 - (-1)\cdot0)\hat{\mathbf{y}} + (2\cdot1 - 0\cdot0)\hat{\mathbf{z}} = \hat{\mathbf{x}} - 6\hat{\mathbf{y}} + 2\hat{\mathbf{z}} \notag$

$\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) = \begin{vmatrix}\hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}} \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & -6 & 2\end{vmatrix} = 4\hat{\mathbf{x}} - 2\hat{\mathbf{y}} - 8\hat{\mathbf{z}} \notag$

Ruang kanan — $\mathbf{B}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}) - \mathbf{C}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})$:

$\mathbf{A}\cdot\mathbf{C} = 0 + 2 + 0 = 2$, $\quad\mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = 2 + 0 + 0 = 2 \notag$

$\mathbf{B}(2) - \mathbf{C}(2) = 4\hat{\mathbf{x}} - 2\hat{\mathbf{z}} - 2\hat{\mathbf{y}} - 6\hat{\mathbf{z}} = 4\hat{\mathbf{x}} - 2\hat{\mathbf{y}} - 8\hat{\mathbf{z}} \notag$

Kedua ruas sama: $4\hat{\mathbf{x}} - 2\hat{\mathbf{y}} - 8\hat{\mathbf{z}} \;\checkmark \notag$

Tentukan apakah $\mathbf{A} = 2\hat{\mathbf{x}} - \hat{\mathbf{y}} + \hat{\mathbf{z}}$, $\mathbf{B} = \hat{\mathbf{x}} + \hat{\mathbf{y}} - 2\hat{\mathbf{z}}$, dan $\mathbf{C} = 3\hat{\mathbf{x}} - 3\hat{\mathbf{y}} + 5\hat{\mathbf{z}}$ koplanar.

Tiga vektor koplanar jika dan hanya jika produk tripel skalar bernilai nol:

$\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) = \begin{vmatrix}2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \\ 3 & -3 & 5\end{vmatrix} \notag$

$= 2(5-6) - (-1)(5-(-6)) + 1(-3-3) = 2(-1) + 1(11) + 1(-6) = -2+11-6 = 3 \neq 0 \notag$

Karena $\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) = 3 \neq 0$, ketiga vektor tidak koplanar — mereka membentuk basis linear-independen di $\mathbb{R}^3$. $\notag$

Diberikan $T(x,y,z) = 3x^2y - y^2z$. Hitung $\nabla T$ dan turunan arah di titik $P = (1, -1, 2)$ searah vektor $\mathbf{v} = 2\hat{\mathbf{x}} + \hat{\mathbf{y}} - 2\hat{\mathbf{z}}$.

Gradient: $\nabla T = 6xy\,\hat{\mathbf{x}} + (3x^2 - 2yz)\,\hat{\mathbf{y}} - y^2\,\hat{\mathbf{z}} \notag$

Di titik $P$: $\nabla T\big|_P = 6(1)(-1)\hat{\mathbf{x}} + (3 - 2(-1)(2))\hat{\mathbf{y}} - (-1)^2\hat{\mathbf{z}} = -6\hat{\mathbf{x}} + 7\hat{\mathbf{y}} - \hat{\mathbf{z}} \notag$

Vektor satuan: $\hat{\mathbf{v}} = \dfrac{2\hat{\mathbf{x}} + \hat{\mathbf{y}} - 2\hat{\mathbf{z}}}{\sqrt{4+1+4}} = \dfrac{1}{3}(2\hat{\mathbf{x}} + \hat{\mathbf{y}} - 2\hat{\mathbf{z}}) \notag$

Turunan arah: $\nabla T\big|_P \cdot \hat{\mathbf{v}} = \dfrac{1}{3}[(-6)(2) + (7)(1) + (-1)(-2)] = \dfrac{1}{3}(-12+7+2) = -1 \notag$

Interpretasi: di titik $P$, fungsi $T$ menurun dengan laju 1 satuan per satuan panjang searah $\mathbf{v}$. Laju kenaikan maksimum adalah $|\nabla T|_P = \sqrt{36+49+1} = \sqrt{86} \approx 9.27$. $\notag$

Hitung $\nabla r$ di mana $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$. Ini adalah salah satu hasil paling penting dalam elektrodinamika.

$\dfrac{\partial r}{\partial x} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = \dfrac{x}{r}$, demikian pula untuk $y$ dan $z$. $\notag$

Sehingga: $\nabla r = \dfrac{x}{r}\,\hat{\mathbf{x}} + \dfrac{y}{r}\,\hat{\mathbf{y}} + \dfrac{z}{r}\,\hat{\mathbf{z}} = \dfrac{\mathbf{r}}{r} = \hat{\mathbf{r}} \notag$

Lebih umum, untuk $f(r)$ yang hanya bergantung pada $r$:

Contoh: $\nabla\!\left(\dfrac{1}{r}\right) = -\dfrac{1}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}} = -\dfrac{\mathbf{r}}{r^3}$ — ini muncul langsung dalam medan listrik muatan titik. $\notag$

Dalam elektrodinamika, sering kali perlu menghitung $\nabla\!\left(\dfrac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\right)$ di mana $\mathbf{r}'$ adalah vektor posisi sumber (konstan terhadap turunan). Tunjukkan bahwa:

Bukti. Misalkan $\boldsymbol{\mathscr{r}} = \mathbf{r}-\mathbf{r}' = (x-x')\hat{\mathbf{x}} + (y-y')\hat{\mathbf{y}} + (z-z')\hat{\mathbf{z}}$ dan $\mathscr{r} = |\boldsymbol{\mathscr{r}}|$. Karena $\nabla$ hanya beroperasi pada $\mathbf{r}$ (bukan $\mathbf{r}'$), kita peroleh: $\notag$

$\dfrac{\partial \mathscr{r}}{\partial x} = \dfrac{x-x'}{\mathscr{r}}$, sehingga $\nabla\mathscr{r} = \dfrac{\boldsymbol{\mathscr{r}}}{\mathscr{r}}$. Maka: $\notag$

$\nabla\!\left(\dfrac{1}{\mathscr{r}}\right) = -\dfrac{1}{\mathscr{r}^2}\nabla\mathscr{r} = -\dfrac{1}{\mathscr{r}^2}\cdot\dfrac{\boldsymbol{\mathscr{r}}}{\mathscr{r}} = -\dfrac{\boldsymbol{\mathscr{r}}}{\mathscr{r}^3} \;\blacksquare \notag$

Hitung divergensi dan curl dari $\mathbf{F} = x^2 y\,\hat{\mathbf{x}} + y^2 z\,\hat{\mathbf{y}} + z^2 x\,\hat{\mathbf{z}}$.

Divergensi: $\nabla\cdot\mathbf{F} = \dfrac{\partial}{\partial x}(x^2 y) + \dfrac{\partial}{\partial y}(y^2 z) + \dfrac{\partial}{\partial z}(z^2 x) = 2xy + 2yz + 2zx \notag$

Curl: $\nabla\times\mathbf{F} = \left(\dfrac{\partial(z^2 x)}{\partial y} - \dfrac{\partial(y^2 z)}{\partial z}\right)\hat{\mathbf{x}} - \left(\dfrac{\partial(z^2 x)}{\partial x} - \dfrac{\partial(x^2 y)}{\partial z}\right)\hat{\mathbf{y}} + \left(\dfrac{\partial(y^2 z)}{\partial x} - \dfrac{\partial(x^2 y)}{\partial y}\right)\hat{\mathbf{z}} \notag$

$= (0 - y^2)\hat{\mathbf{x}} - (z^2 - 0)\hat{\mathbf{y}} + (0 - x^2)\hat{\mathbf{z}} = -y^2\,\hat{\mathbf{x}} - z^2\,\hat{\mathbf{y}} - x^2\,\hat{\mathbf{z}} \notag$

Hitung divergensi dari $\mathbf{F} = \dfrac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2} = \dfrac{\mathbf{r}}{r^3}$ untuk $r \neq 0$. Medan ini persis berbentuk medan listrik muatan titik.

Dalam koordinat Kartesius, $\mathbf{F} = \dfrac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\hat{\mathbf{x}} + \dfrac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\hat{\mathbf{y}} + \dfrac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\hat{\mathbf{z}}$. $\notag$

Hitung $\dfrac{\partial F_x}{\partial x} = \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^{3/2} - x\cdot\frac{3}{2}(x^2+y^2+z^2)^{1/2}\cdot 2x}{(x^2+y^2+z^2)^3} = \dfrac{r^3 - 3x^2 r}{r^6} = \dfrac{r^2 - 3x^2}{r^5} \notag$

Dengan cara yang sama: $\dfrac{\partial F_y}{\partial y} = \dfrac{r^2-3y^2}{r^5}$, $\quad\dfrac{\partial F_z}{\partial z} = \dfrac{r^2-3z^2}{r^5} \notag$

$\nabla\cdot\mathbf{F} = \dfrac{3r^2 - 3(x^2+y^2+z^2)}{r^5} = \dfrac{3r^2 - 3r^2}{r^5} = 0 \quad (r \neq 0) \notag$

Medan $\hat{\mathbf{r}}/r^2$ adalah solenoidal di mana-mana kecuali di asal. Di $r=0$, divergensi "meledak" — hasilnya melibatkan fungsi delta Dirac: $\nabla\cdot(\hat{\mathbf{r}}/r^2) = 4\pi\,\delta^3(\mathbf{r})$. Ini adalah inti dari hukum Gauss untuk muatan titik. $\notag$

Tunjukkan bahwa untuk setiap fungsi skalar $f(r)$, medan radial $\mathbf{F} = f(r)\,\hat{\mathbf{r}}$ memiliki curl nol.

Dalam koordinat bola (lihat Bagian 1.6), curl dari medan yang hanya memiliki komponen radial $F_r = f(r)$:

$(\nabla\times\mathbf{F})_\theta = \dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial F_r}{\partial \phi} - \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial(r F_\phi)}{\partial r} = 0 - 0 = 0 \notag$

$(\nabla\times\mathbf{F})_\phi = \dfrac{1}{r}\left[\dfrac{\partial(r F_\theta)}{\partial r} - \dfrac{\partial F_r}{\partial \theta}\right] = 0 - \dfrac{f'(r)}{r}\dfrac{\partial r}{\partial \theta} = 0 \notag$

Karena $\partial r/\partial \theta = 0$, komponen ini juga nol. Jadi $\nabla\times(f(r)\,\hat{\mathbf{r}}) = \mathbf{0}$ di mana-mana. $\notag$

Konsekuensi fisik: Medan listrik statis yang hanya memiliki komponen radial (seperti medan muatan titik atau kulit bola) selalu konservatif — dapat ditulis sebagai gradient dari potensial skalar. $\notag$

Hitung curl dari $\mathbf{F} = \dfrac{-y\,\hat{\mathbf{x}} + x\,\hat{\mathbf{y}}}{x^2+y^2}$. Medan ini mewakili medan magnetik dari kawat tak hingga berarus sepanjang sumbu $z$.

$F_x = \dfrac{-y}{x^2+y^2}$, $\quad F_y = \dfrac{x}{x^2+y^2}$, $\quad F_z = 0 \notag$

$\dfrac{\partial F_z}{\partial y} - \dfrac{\partial F_y}{\partial z} = 0 - 0 = 0 \notag$

$\dfrac{\partial F_x}{\partial z} - \dfrac{\partial F_z}{\partial x} = 0 - 0 = 0 \notag$

$\dfrac{\partial F_y}{\partial x} - \dfrac{\partial F_x}{\partial y} = \dfrac{(x^2+y^2) - x\cdot 2x}{(x^2+y^2)^2} - \dfrac{-(x^2+y^2) + y\cdot 2y}{(x^2+y^2)^2} = \dfrac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} + \dfrac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} = 0 \quad (x^2+y^2 \neq 0) \notag$

Jadi $\nabla\times\mathbf{F} = \mathbf{0}$ di mana-mana kecuali di sumbu $z$ ($x=y=0$). Di sumbu, curl "meledak" dan menghasilkan fungsi delta: $\nabla\times\mathbf{F} = 2\pi\,\delta(x)\delta(y)\,\hat{\mathbf{z}}$. Ini adalah versi 2D dari hukum Ampère untuk kawat tak hingga. $\notag$

Verifikasi $\nabla\times(\nabla T) = \mathbf{0}$ untuk $T = x^2 y + y^2 z + z^2 x$.

Gradient: $\nabla T = (2xy+z^2)\hat{\mathbf{x}} + (x^2+2yz)\hat{\mathbf{y}} + (y^2+2zx)\hat{\mathbf{z}} \notag$

Komponen-$x$ dari curl: $\dfrac{\partial(y^2+2zx)}{\partial y} - \dfrac{\partial(x^2+2yz)}{\partial z} = 2y - 2y = 0 \notag$

Komponen-$y$ dari curl: $\dfrac{\partial(2xy+z^2)}{\partial z} - \dfrac{\partial(y^2+2zx)}{\partial x} = 2z - 2z = 0 \notag$

Komponen-$z$ dari curl: $\dfrac{\partial(x^2+2yz)}{\partial x} - \dfrac{\partial(2xy+z^2)}{\partial y} = 2x - 2x = 0 \notag$

Konfirmasi: $\nabla\times(\nabla T) = \mathbf{0} \;\checkmark \notag$

Verifikasi $\nabla\cdot(r^n\,\hat{\mathbf{r}}) = (n+2)\,r^{n-1}$ menggunakan aturan produk.

Misalkan $f = r^n$ dan $\mathbf{A} = \hat{\mathbf{r}}$. Maka: $\notag$

$\nabla\cdot(r^n\,\hat{\mathbf{r}}) = (\nabla r^n)\cdot\hat{\mathbf{r}} + r^n(\nabla\cdot\hat{\mathbf{r}}) \notag$

Karena $\nabla r^n = nr^{n-1}\nabla r = nr^{n-1}\hat{\mathbf{r}}$, komponen pertama: $(nr^{n-1}\hat{\mathbf{r}})\cdot\hat{\mathbf{r}} = nr^{n-1} \notag$

Dalam koordinat bola, $\nabla\cdot\hat{\mathbf{r}} = \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}(r^2\cdot 1) = \dfrac{2}{r}$. Jadi komponen kedua: $r^n \cdot \dfrac{2}{r} = 2r^{n-1} \notag$

Total: $\nabla\cdot(r^n\,\hat{\mathbf{r}}) = nr^{n-1} + 2r^{n-1} = (n+2)r^{n-1} \;\checkmark \notag$

Kasus khusus: Untuk $n=-2$: $\nabla\cdot(\hat{\mathbf{r}}/r^2) = 0$ untuk $r\neq 0$, konsisten dengan Contoh 1.15. $\notag$

Hitung $\nabla^2(1/r)$ untuk $r\neq 0$.

Dalam koordinat bola, untuk fungsi yang hanya bergantung pada $r$: $\notag$

$\nabla^2\!\left(\dfrac{1}{r}\right) = \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}\!\left(r^2\dfrac{\partial}{\partial r}\dfrac{1}{r}\right) = \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}\!\left(r^2\cdot\dfrac{-1}{r^2}\right) = \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}(-1) = 0 \quad (r\neq 0) \notag$

Namun, di $r=0$, Laplacian ini "meledak". Hasil lengkapnya: $\notag$

Ini adalah identitas Laplace paling penting dalam elektrodinamika — ia menyatakan bahwa $1/r$ adalah fungsi Green dari operator Laplacian di tiga dimensi, dan merupakan dasar solusi umum persamaan Poisson. $\notag$

Verifikasi teorema divergensi untuk $\mathbf{F} = x^2\hat{\mathbf{x}} + y^2\hat{\mathbf{y}} + z^2\hat{\mathbf{z}}$ pada kubus $0 \leq x,y,z \leq 1$.

Ruang kanan (integral volume): $\nabla\cdot\mathbf{F} = 2x + 2y + 2z \notag$

$\int_0^1\!\!\int_0^1\!\!\int_0^1 (2x+2y+2z)\,dx\,dy\,dz = \int_0^1\!\!\int_0^1 [x^2+2xy+2xz]_0^1\,dy\,dz = \int_0^1\!\!\int_0^1 (1+2y+2z)\,dy\,dz \notag$

$= \int_0^1 [y+y^2+2yz]_0^1\,dz = \int_0^1 (2+2z)\,dz = [2z+z^2]_0^1 = 3 \notag$

Ruang kiri (integral permukaan) — oleh simetri, cukup hitung satu sisi dan kalikan: $\notag$

Sisi $x=1$: $\int_0^1\!\!\int_0^1 (1)\,dy\,dz = 1$. Sisi $x=0$: $\int_0^1\!\!\int_0^1 (0)\,dy\,dz = 0$. $\notag$

Dengan cara sama untuk sisi-sisi $y$ dan $z$, total fluks $= (1+0) + (1+0) + (1+0) = 3 \;\checkmark \notag$

Hitung fluks $\mathbf{F} = \hat{\mathbf{r}}/r^2$ melalui permukaan bola $r = R$.

Pada permukaan bola, $d\mathbf{a} = \hat{\mathbf{r}}\,da$ dan $r = R$, sehingga: $\notag$

$\oint_{r=R} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{a} = \oint_{r=R} \frac{\hat{\mathbf{r}}}{R^2}\cdot\hat{\mathbf{r}}\,da = \frac{1}{R^2}\oint da = \frac{1}{R^2}\cdot 4\pi R^2 = 4\pi \notag$

Penting: Hasilnya $4\pi$ independen dari $R$! Ini bukan kebetulan — ia secara langsung mengarah ke hukum Gauss $\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{a} = Q_{\text{enc}}/\varepsilon_0$. Dengan teorema divergensi, karena $\nabla\cdot(\hat{\mathbf{r}}/r^2) = 0$ untuk $r\neq 0$, seluruh kontribusi fluks berasal dari singularitas di $r=0$, yaitu $\nabla\cdot(\hat{\mathbf{r}}/r^2) = 4\pi\delta^3(\mathbf{r})$. $\notag$

Gunakan teorema divergensi untuk menghitung volume bola radius $R$ dengan memilih $\mathbf{F} = \mathbf{r}/3$.

$\nabla\cdot\mathbf{F} = \nabla\cdot\dfrac{\mathbf{r}}{3} = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{\partial x}{\partial x} + \dfrac{\partial y}{\partial y} + \dfrac{\partial z}{\partial z}\right) = \dfrac{3}{3} = 1 \notag$

Oleh teorema Gauss: $V = \int_{\mathcal{V}} 1\,d\tau = \int_{\mathcal{V}} (\nabla\cdot\mathbf{F})\,d\tau = \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{a} = \oint \frac{\mathbf{r}}{3}\cdot\hat{\mathbf{r}}\,da \notag$

Pada permukaan bola, $\mathbf{r} = R\hat{\mathbf{r}}$, sehingga $\mathbf{F}\cdot d\mathbf{a} = \dfrac{R}{3}\,da$. Maka: $\notag$

$V = \dfrac{R}{3}\oint da = \dfrac{R}{3}\cdot 4\pi R^2 = \dfrac{4\pi R^3}{3} \;\checkmark \notag$

Trik ini — memilih $\mathbf{F}$ sehingga $\nabla\cdot\mathbf{F}=1$ — dapat digunakan untuk menghitung volume region apa pun melalui integral permukaan. $\notag$

Verifikasi teorema Stokes untuk $\mathbf{F} = -y\hat{\mathbf{x}} + x\hat{\mathbf{y}} + z\hat{\mathbf{z}}$ pada lingkaran $x^2+y^2=1$, $z=0$.

Ruang kiri (integral garis): Parametrisasi $\mathbf{r}(\phi) = \cos\phi\,\hat{\mathbf{x}} + \sin\phi\,\hat{\mathbf{y}}$, $d\mathbf{l} = (-\sin\phi\,\hat{\mathbf{x}}+\cos\phi\,\hat{\mathbf{y}})\,d\phi$. $\notag$

$\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l} = (-\sin\phi)(-\sin\phi) + (\cos\phi)(\cos\phi) = \sin^2\phi + \cos^2\phi = 1 \notag$

$\oint_{\mathcal{C}} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{l} = \int_0^{2\pi} 1\,d\phi = 2\pi \notag$

Ruang kanan (integral permukaan): $\nabla\times\mathbf{F} = \begin{vmatrix}\hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ -y & x & z\end{vmatrix} = 2\hat{\mathbf{z}} \notag$

Pada permukaan $z=0$ di dalam lingkaran: $d\mathbf{a} = \hat{\mathbf{z}}\,da$, sehingga $(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{a} = 2\,da$. $\notag$

$\int_{\mathcal{S}} 2\,da = 2\cdot\pi(1)^2 = 2\pi \;\checkmark \notag$

Untuk $\mathbf{F}$ dan kurva $\mathcal{C}$ yang sama dengan Contoh 1.24, hitung integral permukaan menggunakan setengah bola $x^2+y^2+z^2=1$, $z\geq 0$ sebagai pengganti cakram datar.

Curl tetap $\nabla\times\mathbf{F} = 2\hat{\mathbf{z}}$. Pada permukaan bola, $d\mathbf{a} = \hat{\mathbf{r}}\,R^2\sin\theta\,d\theta\,d\phi$ dengan $R=1$. $\notag$

$(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{a} = 2\hat{\mathbf{z}}\cdot\hat{\mathbf{r}}\sin\theta\,d\theta\,d\phi = 2\cos\theta\,\sin\theta\,d\theta\,d\phi \notag$

karena $\hat{\mathbf{z}}\cdot\hat{\mathbf{r}} = \cos\theta$. Maka: $\notag$

$\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi/2} 2\cos\theta\sin\theta\,d\theta\,d\phi = 2\pi \int_0^{\pi/2}\sin(2\theta)\,d\theta = 2\pi\left[-\frac{1}{2}\cos(2\theta)\right]_0^{\pi/2} = 2\pi(1) = 2\pi \;\checkmark \notag$

Hasilnya identik dengan cakram datar — ini menunjukkan keindahan teorema Stokes: kita bebas memilih permukaan mana pun yang dibatasi oleh $\mathcal{C}$. $\notag$

Dalam elektrodinamika, teorema Stokes digunakan untuk menunjukkan bahwa GGL induksi $\mathcal{E} = \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = -\dfrac{d\Phi_B}{dt}$ setara dengan $\nabla\times\mathbf{E} = -\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$. Sebagai ilustrasi, jika $\mathbf{B} = B_0 t\,\hat{\mathbf{z}}$ dengan $B_0$ konstan, hitung GGL pada lingkaran radius $a$ di bidang $xy$.

$\mathcal{E} = \int_{\mathcal{S}}(\nabla\times\mathbf{E})\cdot d\mathbf{a} = -\int_{\mathcal{S}}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{a} = -\int_{\mathcal{S}} B_0\,\hat{\mathbf{z}}\cdot\hat{\mathbf{z}}\,da = -B_0\cdot\pi a^2 \notag$

Jadi $\mathcal{E} = -\pi a^2 B_0$, negatif menandakan arah GGL melawan perubahan fluks (hukum Lenz). $\notag$

Gunakan teorema Green untuk menghitung luas elips $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$.

Pilih $F_x = -y/2$, $F_y = x/2$. Maka $\dfrac{\partial F_y}{\partial x} - \dfrac{\partial F_x}{\partial y} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$. $\notag$

Luas $= \displaystyle\int_{\mathcal{R}} 1\,dx\,dy = \oint_{\mathcal{C}} \left(-\frac{y}{2}\,dx + \frac{x}{2}\,dy\right) \notag$

Parametrisasi elips: $x = a\cos t$, $y = b\sin t$, $0\leq t\leq 2\pi$: $\notag$

$A = \int_0^{2\pi}\left[-\frac{b\sin t}{2}(-a\sin t) + \frac{a\cos t}{2}(b\cos t)\right]dt = \frac{ab}{2}\int_0^{2\pi}(\sin^2 t + \cos^2 t)\,dt = \frac{ab}{2}\cdot 2\pi = \pi ab \;\checkmark \notag$

Hitung $\nabla\cdot\mathbf{F}$ untuk $\mathbf{F} = s\,\hat{\mathbf{s}}$ (medan radial silinder) dalam koordinat silinder, lalu verifikasi dalam Kartesius.

Silinder: $\nabla\cdot(s\,\hat{\mathbf{s}}) = \dfrac{1}{s}\dfrac{\partial}{\partial s}(s\cdot s) + 0 + 0 = \dfrac{1}{s}\cdot 2s = 2 \notag$

Verifikasi Kartesius: $\mathbf{F} = s\,\hat{\mathbf{s}} = s\cos\phi\,\hat{\mathbf{x}} + s\sin\phi\,\hat{\mathbf{y}} = x\,\hat{\mathbf{x}} + y\,\hat{\mathbf{y}} \notag$

$\nabla\cdot\mathbf{F} = \dfrac{\partial x}{\partial x} + \dfrac{\partial y}{\partial y} + 0 = 1 + 1 = 2 \;\checkmark \notag$

Perhatikan bahwa faktor $1/s$ dalam rumus silinder tepat mengkompensasi fakta bahwa area cincin bertambah dengan $s$. $\notag$

Medan magnetik di dalam solenoid ideal tak hingga: $\mathbf{B} = B_0\,\hat{\mathbf{z}}$ (konstan). Hitung $\nabla\times\mathbf{B}$.

$\nabla\times\mathbf{B} = \left(\dfrac{1}{s}\dfrac{\partial B_0}{\partial \phi} - 0\right)\hat{\mathbf{s}} + \left(0 - \dfrac{\partial B_0}{\partial s}\right)\hat{\boldsymbol{\phi}} + \dfrac{1}{s}\left[\dfrac{\partial}{\partial s}(s\cdot 0) - 0\right]\hat{\mathbf{z}} = \mathbf{0} \notag$

Konsisten dengan hukum Ampère: di dalam solenoid (jauh dari ujung), tidak ada arus yang mengalir melalui permukaan yang dibungkus, sehingga $\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} = \mathbf{0}$. $\notag$

Tentukan koordinat bola $(r, \theta, \phi)$ dari titik $P$ dengan koordinat Kartesius $(1, 1, \sqrt{2})$.

$r = \sqrt{1^2+1^2+(\sqrt{2})^2} = \sqrt{1+1+2} = \sqrt{4} = 2 \notag$

$\theta = \arccos\!\left(\dfrac{z}{r}\right) = \arccos\!\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \dfrac{\pi}{4} = 45° \notag$

$\phi = \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) = \arctan(1) = \dfrac{\pi}{4} = 45° \notag$

Jadi $P$ memiliki koordinat bola $(r, \theta, \phi) = (2, \pi/4, \pi/4)$. $\notag$

Tentukan koordinat silinder $(s, \phi, z)$ dari titik yang sama $P = (1, 1, \sqrt{2})$.

$s = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \notag$

$\phi = \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) = \arctan(1) = \dfrac{\pi}{4} \notag$

$z = \sqrt{2} \notag$

Jadi $P$ memiliki koordinat silinder $(s, \phi, z) = (\sqrt{2}, \pi/4, \sqrt{2})$. $\notag$

Hitung $\nabla\cdot\mathbf{F}$ untuk $\mathbf{F} = r^2\cos\theta\,\hat{\mathbf{r}}$ dalam koordinat bola.

$\nabla\cdot\mathbf{F} = \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}(r^2 \cdot r^2\cos\theta) + 0 + 0 = \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}(r^4\cos\theta) = \dfrac{1}{r^2}\cdot 4r^3\cos\theta = 4r\cos\theta \notag$

Medan vektor potensial dari dipol magnetik $\mathbf{m} = m\hat{\mathbf{z}}$ adalah $\mathbf{A} = \dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{m\sin\theta}{r^2}\,\hat{\boldsymbol{\phi}}$. Hitung $\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}$.

Dengan $A_\phi = \dfrac{\mu_0 m\sin\theta}{4\pi r^2}$ dan $A_r = A_\theta = 0$: $\notag$

Komponen-$r$: $\dfrac{1}{r\sin\theta}\left[\dfrac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\sin\theta\cdot\dfrac{\mu_0 m\sin\theta}{4\pi r^2}\right) - 0\right] = \dfrac{\mu_0 m}{4\pi r^3\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial\theta}(\sin^2\theta) = \dfrac{\mu_0 m}{4\pi r^3\sin\theta}\cdot 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{\mu_0 m}{4\pi}\dfrac{2\cos\theta}{r^3} \notag$

Komponen-$\theta$: $\dfrac{1}{r}\left[0 - \dfrac{\partial}{\partial r}\!\left(r\cdot\dfrac{\mu_0 m\sin\theta}{4\pi r^2}\right)\right] = \dfrac{1}{r}\left[-\dfrac{\mu_0 m\sin\theta}{4\pi}\dfrac{\partial}{\partial r}\!\left(\dfrac{1}{r}\right)\right] = \dfrac{1}{r}\left[-\dfrac{\mu_0 m\sin\theta}{4\pi}\!\left(\dfrac{-1}{r^2}\right)\right] = \dfrac{\mu_0 m}{4\pi}\dfrac{\sin\theta}{r^3} \notag$

Komponen-$\phi$: $0$ (karena $A_r$ dan $A_\theta$ nol, dan $A_\phi$ tidak bergantung pada $\phi$). $\notag$

Sehingga: $\notag$

Ini adalah ekspresi standar medan dipol magnetik yang akan kita temukan kembali di Bab 5 melalui multipol ekspansi. $\notag$

Hitung $\nabla^2(r\cos\theta)$ dan $\nabla^2(r^2\cos^2\theta)$. Fungsi-fungsi ini berkaitan dengan harmonik sferis $Y_1^0$ dan $Y_2^0$.

Pertama: $T = r\cos\theta = z$. Karena $z$ adalah koordinat Kartesius, $\nabla^2 z = 0$. Verifikasi dalam koordinat bola: $\notag$

$\nabla^2(r\cos\theta) = \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}\!\left(r^2\cos\theta\right) + \dfrac{1}{r^2\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\sin\theta\cdot(-r\sin\theta)\right) + 0 \notag$

$= \dfrac{2\cos\theta}{r} + \dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial\theta}(-r\sin^2\theta) = \dfrac{2\cos\theta}{r} + \dfrac{-r}{r\sin\theta}\cdot 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{2\cos\theta}{r} - \dfrac{2\cos\theta}{r} = 0 \;\checkmark \notag$

Kedua: $T = r^2\cos^2\theta$. Langsung dalam koordinat bola: $\notag$

$\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}\!\left(r^2\cdot 2r\cos^2\theta\right) = \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}(2r^3\cos^2\theta) = 6\cos^2\theta \notag$

$\dfrac{1}{r^2\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\sin\theta\cdot r^2\cdot 2\cos\theta\cdot(-\sin\theta)\right) = \dfrac{1}{\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial\theta}(-2\cos\theta\sin^2\theta) \notag$

$= \dfrac{1}{\sin\theta}(-2)[-\sin\theta\sin^2\theta + \cos\theta\cdot 2\sin\theta\cos\theta] = \dfrac{1}{\sin\theta}(-2)\sin\theta(-\sin^2\theta+2\cos^2\theta) \notag$

$= 2(3\cos^2\theta - 1) \notag$

$\nabla^2(r^2\cos^2\theta) = 6\cos^2\theta + 2(3\cos^2\theta-1) = 6\cos^2\theta + 6\cos^2\theta - 2 = 12\cos^2\theta - 2 = 2(6\cos^2\theta-1) \notag$

Hasil ini bukan nol — artinya $r^2\cos^2\theta$ bukan solusi persamaan Laplace (bukan harmonik sferis murni). Namun $r^2(3\cos^2\theta-1)$ adalah harmonik sferis $Y_2^0$ yang memenuhi $\nabla^2 Y = 0$. $\notag$