Teknik Khusus Perhitungan Potensial

Sebuah bola konduktor berjari-jari $R$ ditempatkan dalam medan seragam $\mathbf{E}_0 = E_0\,\hat{\mathbf{z}}$. Tanpa menyelesaikan PDE dari awal, tentukan apakah fungsi berikut adalah solusi yang benar untuk wilayah luar bola ($r > R$):

Langkah 1 — Periksa Persamaan Laplace ($\nabla^2 V = 0$).
Karena sistem ini memiliki simetri azimut (tidak bergantung pada sudut $\phi$), operator Laplacian dalam koordinat bola disederhanakan menjadi komponen radial dan angular:

A. Evaluasi Suku Radial:
Mula-mula, kita hitung turunan parsial pertama terhadap $r$:

Kalikan hasil di atas dengan $r^2$ sebelum melakukan turunan parsial kedua:

Turunkan kembali terhadap $r$ dan kalikan dengan $\frac{1}{r^2}$ untuk mendapatkan Suku Radial total:

B. Evaluasi Suku Angular:
Mula-mula, kita hitung turunan parsial pertama terhadap $\theta$:

Kalikan dengan $\sin\theta$, lalu turunkan kembali terhadap $\theta$:

Kalikan dengan $\frac{1}{r^2\sin\theta}$ untuk menyelesaikan Suku Angular total:

C. Penjumlahan Akhir ($\nabla^2 V$):
Gabungkan hasil Suku Radial dan Suku Angular:

Karena hasilnya tepat bernilai nol, fungsi potensial terbukti memenuhi Persamaan Laplace. $\checkmark$

Langkah 2 — Periksa syarat batas di $r = R$.

Permukaan bola berada pada $V = 0$ — konsisten dengan konduktor bertanah. $\checkmark$

Langkah 3 — Periksa batas di $r \to \infty$.

Ini memberikan $\mathbf{E} = -\nabla(-E_0 z) = E_0\,\hat{\mathbf{z}}$ — medan seragam yang diinginkan. $\checkmark$

Kesimpulan: Berdasarkan teorema unikitas, fungsi di atas adalah satu-satunya solusi yang benar — tidak perlu mencari alternatif lain. Kita menebak solusi dari bentuk fisik, memverifikasi kesesuaian batas ruang, dan penyelesaian selesai secara mutlak. $\blacksquare$

Sebuah wilayah persegi panjang dua dimensi dibatasi oleh koordinat $0 \leq x \leq a$ dan $0 \leq y \leq b$. Wilayah ini memiliki nilai potensial nol ($V = 0$) pada tiga sisi pembatasnya ($x=0$, $x=a$, dan $y=b$), serta nilai potensial konstan tetap $V = V_0$ pada sisi bawahnya ($y = 0$). Tentukan fungsi potensial umum $V(x,y)$ di dalam ruang tersebut.

Langkah 1 — Pemisahan Variabel (Separation of Variables).
Kita mulai dengan mengasumsikan solusi produk dari dua buah fungsi satu variabel independen:

Substitusikan bentuk asumsi ini ke dalam Persamaan Laplace dua dimensi $\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} = 0$:

Bagi kedua sisi persamaan dengan nilai $X(x)Y(y)$ untuk memisahkan variabel-variabelnya ke sisi yang berbeda:

Keunikan dari persamaan ini adalah sisi kiri hanya bergantung pada $x$ dan sisi kanan hanya bergantung pada $y$. Agar kondisi ini terpenuhi untuk semua nilai koordinat, kedua bagian harus bernilai sama dengan sebuah tetapan pemisahan konstan (kita pilih $-k^2$). Hal ini memecah PDE awal menjadi dua persamaan diferensial biasa (ODE):

Langkah 2 — Evaluasi Kondisi Batas Homogen ($V = 0$).
Solusi umum untuk komponen spasial $X(x)$ berbentuk osilasi harmonik:

• Terapkan syarat batas kiri $V(0,y) = 0 \implies X(0) = 0$:
  $X(0) = A\sin(0) + B\cos(0) = B = 0$. Maka suku kosinus hilang.
• Terapkan syarat batas kanan $V(a,y) = 0 \implies X(a) = 0$:
  $X(a) = A\sin(ka) = 0$. Untuk menghindari solusi trivial ($A=0$), maka nilai argumen sinus harus memenuhi $\sin(ka) = 0$, yang menghasilkan nilai eigen diskrit $k_n = \frac{n\pi}{a}$ untuk $n = 1, 2, 3, \dots$

Solusi umum untuk komponen spasial $Y(y)$ berbentuk eksponensial atau hiperbolik:

• Terapkan syarat batas atas $V(x,b) = 0 \implies Y(b) = 0$:
  $Y(b) = C\cosh(k_n b) + D\sinh(k_n b) = 0 \implies C = -D\frac{\sinh(k_n b)}{\cosh(k_n b)}$.

Substitusikan nilai $C$ kembali ke persamaan $Y(y)$ dan terapkan identitas selisih sudut sinus hiperbolik $\sinh(\alpha - \beta) = \sinh\alpha\cosh\beta - \cosh\alpha\sinh\beta$:

Dengan menggabungkan konstanta amplitudo $A$ dan $-D'$ ke dalam satu koefisien baru $C_n$, prinsip superposisi memberikan solusi total berbentuk deret tak hingga:

Langkah 3 — Penentuan Koefisien Menggunakan Ortogonalitas Fourier.
Terapkan kondisi batas non-homogen terakhir pada sisi bawah ($y = 0$) di mana nilai $V = V_0$:

Ini merupakan bentuk ekspansi deret Fourier sinus untuk fungsi konstan $V_0$. Kita kalikan kedua sisi dengan fungsi uji $\sin(\frac{m\pi x}{a})$ dan integrasikan sepanjang domain dari $0$ hingga $a$:

Berdasarkan sifat ortogonalitas fungsi sinus, nilai integral di sisi kanan akan bernilai nol untuk semua nilai $n \neq m$, dan hanya menyisakan nilai $\frac{a}{2}$ saat nilai $n = m$:

Nilai suku faktor penyebut $\bigl[1 - (-1)^n\bigr]$ akan bernilai $0$ untuk semua bilangan $n$ genap, dan bernilai $2$ untuk semua bilangan $n$ ganjil. Kita ubah indeks deret menjadi bilangan ganjil murni dengan menetapkan $n = 2m-1$ untuk $m = 1, 2, 3, \dots$

Langkah 4 — Verifikasi Akhir Kondisi Batas.

• Pada batas atas ($y = b$): Setiap komponen suku memiliki faktor nilai $\sinh(0) = 0$, sehingga menghasilkan total nilai potensial menyeluruh $V(x,b) = 0$. $\checkmark$
• Pada batas samping ($x = 0$ atau $x = a$): Setiap komponen suku memiliki faktor nilai $\sin(0) = 0$ atau $\sin(n\pi) = 0$, sehingga menghasilkan total nilai potensial menyeluruh $V(0,y) = V(a,y) = 0$. $\checkmark$
• Pada batas bawah ($y = 0$): Fungsi deret bertransformasi kembali secara utuh menjadi representasi deret Fourier sinus dari fungsi konstan bernilai $V_0$. Solusi terbukti valid dan konsisten secara fisis maupun matematis. $\checkmark$

Sebuah silinder konduktor berjejari tak hingga dengan radius penampang $R$ diletakkan di dalam medan listrik luar seragam $\mathbf{E}_0 = E_0\,\hat{\mathbf{x}}$. Silinder dihubungkan ke tanah (grounded) sehingga memiliki potensial acuan konstan $V=0$. Tentukan fungsi potensial listrik $V(s,\phi)$, medan listrik $\mathbf{E}(s,\phi)$, dan rapat muatan permukaan terinduksi $\sigma(\phi)$ di wilayah luar silinder ($s > R$).

Langkah 1 — Identifikasi Simetri dan Struktur Umum Solusi.
Karena silinder diasumsikan sangat panjang di sepanjang sumbu-$z$, variasi spasial terhadap potensial diabaikan ($\frac{\partial V}{\partial z} = 0$). Persamaan Laplace dalam koordinat silinder 2D dituliskan sebagai:

Secara umum, solusi untuk persamaan eksterior ($s > R$) di atas dapat diekspansikan ke dalam deret tak hingga Fourier-Euler:

Untuk menentukan koefisien mana yang bertahan, kita terapkan kondisi batas jarak jauh (asimtotik) saat $s \to \infty$. Medan listrik seragam luar yang mengalir searah sumbu-$x$ memberikan profil potensial latar belakang murni sebesar:

Ketika kita mencocokkan deret umum dengan kondisi batas asimtotik tersebut pada komponen yang tumbuh dominan ($\propto s^m$), kita memperoleh konsekuensi matematis berikut:

1. Eliminasi Suku Sinus: Karena medan luar tidak mengandung komponen spasial sinus, maka seluruh koefisien pertumbuhan $C_m = 0$. Akibatnya, tidak ada pemicu eksternal untuk menginduksi muatan simetri sinus pada permukaan konduktor, sehingga suku peluruhannya juga ikut runtuh menjadi nol ($D_m = 0$).
2. Eliminasi Suku Orde Tinggi ($m \neq 1$): Potensial luar tidak memiliki suku pertumbuhan kuadratis ($s^2$), kubik ($s^3$), atau orde di atasnya. Oleh karena itu, semua koefisien pertumbuhan $A_m$ untuk nilai $m > 1$ wajib bernilai nol ($A_m = 0$).
3. Penyaringan Mode Eksklusif ($m = 1$): Hanya suku pertumbuhan pada orde $m = 1$, yaitu $A_1 s^1 \cos(1\phi)$, yang cocok persis dengan struktur linear medan seragam luar. Melalui pencocokan langsung koefisien ini, kita dapatkan nilai pasti $A_1 = -E_0$.

Lebih jauh lagi, karena silinder tidak memiliki muatan netto awal, suku monopol ($B_0 \ln s$) bernilai nol, yang otomatis memaksa $A_0 = 0$ agar potensial tidak bergeser secara konstan pada koordinat tak hingga. Berdasarkan eliminasi ortogonalitas tersebut, seluruh mode eigen selain $m=1$ terbukti runtuh menjadi nol secara mandiri. Fungsi potensial komparatif penyelesaian disederhanakan secara utuh menjadi:

Suku linear $-E_0 s \cos\phi$ merepresentasikan pengaruh langsung dari medan seragam luar, sedangkan suku invers $\frac{B_1}{s}\cos\phi$ merepresentasikan kontribusi medan dwi-kutub (dipole) terinduksi akibat pergeseran muatan bebas di dalam bahan konduktor silinder.

Langkah 2 — Evaluasi Syarat Batas Permukaan ($s = R$).
Karena konduktor ditanah, nilai potensial tepat pada permukaan kulit silinder harus bernilai nol untuk seluruh sudut orientasi $\phi$:

Agar persamaan di atas terpenuhi untuk nilai sudut $\phi$ berapapun, suku di dalam tanda kurung wajib bernilai nol secara independen:

Substitusikan konstanta $B$ kembali ke dalam persamaan utama untuk menghasilkan rumusan potensial akhir:

Langkah 3 — Penurunan Vektor Medan Listrik ($\mathbf{E} = -\nabla V$).
Komponen-komponen medan listrik diperoleh dengan mengambil nilai negatif dari gradien potensial dalam representasi koordinat silinder:

• Komponen Radial ($E_s$):
  
  $$ E_s = -\frac{\partial V}{\partial s} = -\frac{\partial}{\partial s}\left[-E_0\left(s - R^2 s^{-1}\right)\cos\phi\right] = E_0\left(1 + \frac{R^2}{s^2}\right)\cos\phi $$
• Komponen Azimut ($E_\phi$):
  
  $$ E_\phi = -\frac{1}{s}\frac{\partial V}{\partial \phi} = -\frac{1}{s}\left[E_0\left(s - \frac{R^2}{s}\right)\sin\phi\right] = -E_0\left(1 - \frac{R^2}{s^2}\right)\sin\phi $$

Langkah 4 — Penentuan Rapat Muatan Permukaan Terinduksi ($\sigma$).
Berdasarkan kondisi batas elektrostatik di permukaan bahan konduktor, komponen medan listrik yang tangensial terhadap permukaan akan bernilai nol ($E_\phi\big|_{s=R} = 0$), sedangkan komponen radial yang tegak lurus permukaan sebanding dengan kerapatan muatan lokal dibagi permitivitas ruang hampa ($\varepsilon_0$):

Profil fungsi ini menunjukkan muatan positif terinduksi dan berkumpul pada sisi kanan ($\phi = 0$, searah datangnya medan), sedangkan muatan negatif menumpuk pada sisi kiri ($\phi = \pi$). Jika kita integrasikan seluruh muatan linier per satuan panjang silinder:

Hasil integrasi bernilai nol, membuktikan bahwa silinder secara keseluruhan tetap mempertahankan sifat netralitas fisisnya. $\checkmark$

Langkah 5 — Verifikasi Validitas Batas Batas Fisis.

• Pada jarak ekstrim menjauh ($s \gg R$): Suku rasional $\frac{R^2}{s^2} \to 0$, sehingga komponen medan kembali ke nilai asalnya: $E_s \to E_0\cos\phi$ dan $E_\phi \to -E_0\sin\phi$, yang secara vektor setara dengan medan seragam $\mathbf{E} = E_0\hat{\mathbf{x}}$. $\checkmark$
• Tepat pada kulit konduktor ($s \to R^+$): Nilai medan radial bernilai $E_s = 2E_0\cos\phi$. Ini membuktikan fenomena fisis lokal di mana kekuatan medan tepat di area kutub silinder mengalami penguatan sebesar dua kali lipat akibat distorsi garis gaya listrik dari muatan terinduksi. $\checkmark$

Sebuah kaleng silinder pejal memiliki jari-jari penampang $R$ dan tinggi vertikal berhingga $L$. Seluruh permukaan pembatas dinding samping ($s = R$) dan lempeng alas bawah ($z = 0$) dihubungkan ke tanah (grounded) sehingga memiliki potensial nol ($V = 0$). Sementara itu, lempeng tutup bagian atas ($z = L$) diisolasi dan dijaga pada nilai potensial konstan seragam $V = V_0$. Tentukan fungsi potensial elektrostatik umum $V(s,z)$ di dalam seluruh ruang interior silinder tersebut.

Langkah 1 — Pilihan Konstanta Pemisahan dan Konstruksi Basis Solusi.
Karena lempeng tutup atas memiliki nilai potensial konstan yang didistribusikan secara merata tanpa variasi sudut, sistem ini memiliki simetri azimut penuh ($\frac{\partial V}{\partial \phi} = 0$). Parameter angular ini secara otomatis mengunci nilai eigen bilangan bulat menjadi nol ($m = 0$), sehingga meniadakan ketergantungan sudut ($\Phi(\phi) = \text{konstan}$) dan mereduksi solusi umum dari mode $J_m(ks)$ menjadi fungsi Bessel orde nol murni, $J_0(ks)$.

Selanjutnya, kita harus memilih tanda orientasi konstanta pemisahan vertikal ($\lambda_z$) pada persamaan komponen tinggi $\frac{d^2 Z}{dz^2} - \lambda_z Z = 0$. Kita evaluasi berdasarkan letak posisi batas homogen ($V=0$):

• Kondisi batas alas bawah mewajibkan nilai nol pada posisi koordinat tetap: $V(s,0) = 0 \implies Z(0) = 0$.
• Kondisi batas dinding samping melingkar mewajibkan nilai nol pada radius luar tetap: $V(R,z) = 0 \implies S(R) = 0$.

Untuk mengakomodasi syarat batas radius luar $S(R)=0$, fungsi radial wajib berperilaku osilatorik memotong sumbu agar bisa bernilai nol pada jarak tertentu. Hal ini memaksa kita untuk memilih nilai konstanta pemisahan positif $\lambda_z = +k^2$ ($k > 0$). Pilihan ini mengubah persamaan diferensial vertikal menjadi bentuk eksponensial hiperbolik, serta mempertahankan bentuk standar Persamaan Bessel pada komponen radial:

Terapkan kondisi batas alas bawah: $Z(0) = F\sinh(0) + G\cosh(0) = G = 0$. Suku kosinus hiperbolik gugur, menyisakan fungsi $Z(z) = F\sinh(kz)$.

Langkah 2 — Penerapan Syarat Batas Dinding dan Kuantisasi Nilai Eigen.
Komponen solusi radial interior yang konvergen di pusat poros ($s=0$) dituliskan sebagai $S(s) = C J_0(ks)$. Kita gabungkan konstanta amplitudo ke dalam satu parameter koefisien $A$, sehingga prinsip superposisi menghasilkan rumusan potensial total berbentuk deret tak hingga:

Terapkan kondisi batas homogen pada dinding selimut silinder luar ($s = R$):

Agar deret di atas bernilai nol untuk seluruh ketinggian $z$, fungsi Bessel harus dipaksa memotong sumbu tepat pada pembatas radius luar, $J_0(k_n R) = 0$. Kondisi ini mengunci nilai argumen secara diskrit berdasarkan akar-akar nol riil positif dari fungsi Bessel orde nol ($j_{0,1}, j_{0,2}, \dots$). Kita peroleh kuantisasi nilai eigen parameter gelombang:

Substitusikan nilai eigen $k_n$ kembali ke dalam persamaan deret utama:

Langkah 3 — Penentuan Koefisien Deret Menggunakan Ortogonalitas Fourier-Bessel.
Langkah terakhir adalah mengevaluasi kondisi batas non-homogen pada lempeng tutup bagian atas ($z = L$), di mana nilai potensial konstan seragam sebesar $V = V_0$:

Untuk mengekstrak amplitudo koefisien $A_n$, kita manfaatkan sifat hubungan ortogonalitas fungsi Bessel dengan mengalikan kedua ruas menggunakan fungsi uji pembobot jarak $s J_0\left(\frac{j_{0,m}s}{R}\right)$ dan melakukan integrasi sepanjang domain radius dari $0$ hingga $R$:

Berdasarkan teorema ortogonalitas pembobot, seluruh suku integral di sisi kanan akan runtuh bernilai nol untuk semua indeks $n \neq m$, dan hanya menyisakan satu kontribusi nilai integral saat kondisi indeks identik ($n = m$):

Sisi kiri diintegrasikan menggunakan identitas kalkulus turunan basis Bessel $\frac{d}{dx}[x J_1(x)] = x J_0(x)$, yang menghasilkan bentuk integral integral tentu $\int_0^R s J_0(j_{0,n}s/R)\,ds = \frac{R^2}{j_{0,n}} J_1(j_{0,n})$. Substitusikan hasil ini untuk menyelesaikan nilai koefisien $A_n$:

Fungsi koefisien $A_n$ ini melengkapi struktur deret solusi tak hingga secara utuh dan menjamin keunikan nilai potensial di dalam ruang silinder berdasarkan Teorema Unikitas.

Langkah 4 — Verifikasi Konsistensi Batas Fisis Alamiah.

• Sumbu Poros Pusat ($s = 0$): Karena nilai batas awal fungsi basis $J_0(0) = 1$, nilai potensial di sepanjang sumbu simetri bernilai konvergen, terbatas, dan tidak mengalami divergensi tak hingga. Hal ini sesuai dengan realitas fisik ruang interior silinder pejal. $\checkmark$
• Dinding Selimut Samping ($s = R$): Karena nilai eigen dikunci tepat pada akar-akar nol fungsi ($J_0(j_{0,n}) = 0$), potensial di seluruh permukaan kulit samping jatuh tepat bernilai nol secara konsisten. $\checkmark$
• Lempeng Alas Bawah ($z = 0$): Suku fungsi tinggi memiliki komponen faktor $\sinh(0) = 0$, sehingga menghasilkan total nilai potensial menyeluruh $V(s,0) = 0$ pada area dasar kaleng secara merata. $\checkmark$

Sebuah bola konduktor pejal berjejari $R$ ditempatkan di dalam medan listrik luar seragam yang mengalir searah sumbu-$z$, $\mathbf{E}_0 = E_0\,\hat{\mathbf{z}}$. Bola dihubungkan ke tanah (grounded) sehingga memiliki potensial acuan konstan tetap $V=0$. Tentukan fungsi potensial listrik umum $V(r,\theta)$, vektor medan listrik $\mathbf{E}(r,\theta)$, dan rapat muatan permukaan terinduksi $\sigma(\theta)$ di seluruh wilayah luar bola ($r > R$).

Langkah 1 — Identifikasi Simetri dan Struktur Eksklusi Mode Eigen.
Karena bola diletakkan di dalam medan luar seragam yang simetris mengitari sumbu rotasi vertikal, sistem ini memiliki simetri azimut penuh ($\frac{\partial V}{\partial \phi} = 0$). Parameter angular azimut ini mengunci nilai proyeksi magnetik menjadi nol ($m=0$), sehingga meniadakan suku eksponensial kompleks dan mereduksi fungsi angular permukaan menjadi bentuk Polinomial Legendre biasa, $P_l(\cos\theta)$.

Medan listrik seragam luar memberikan kontribusi potensial asimtotik latar belakang yang tumbuh linear terhadap jarak radial seiring pergerakan menjauhi objek ($r \to \infty$):

Bentuk asimtotik ini mengindikasikan secara eksklusif bahwa pemicu eksternal hanya mengaktifkan mode tingkat $l = 1$. Berdasarkan prinsip superposisi, solusi umum luar untuk ruang hampa di luar bola ($r > R$) disusun tanpa melibatkan orde $l$ lainnya:

Suku linear $-E_0\,r\cos\theta$ merepresentasikan pengaruh langsung dari medan seragam luar, sedangkan suku invers kuadratis $\frac{B_1}{r^2}\cos\theta$ merepresentasikan kontribusi medan dwi-kutub (dipole) terinduksi akibat polarisasi muatan di dalam konduktor bola yang meluruh menuju nol di jarak tak hingga.

Langkah 2 — Evaluasi Syarat Batas Permukaan Kulit Bola ($r = R$).
Karena bola konduktor ditanah, nilai potensial tepat pada seluruh koordinat permukaan kulit luar wajib berimpit bernilai nol untuk setiap sudut polar $\theta$:

Agar kondisi ini terpenuhi secara merata tanpa bergantung pada orientasi sudut, suku di dalam tanda kurung harus bernilai nol secara mandiri, yang mengunci amplitudo dwi-kutub terinduksi:

Substitusikan konstanta $B_1$ kembali ke dalam persamaan utama untuk menghasilkan rumusan potensial analitis final:

Langkah 3 — Penurunan Komponen Vektor Medan Listrik ($\mathbf{E} = -\nabla V$).
Komponen-komponen medan listrik diturunkan melalui operasi negatif gradien dari fungsi potensial elektrostatik dalam koordinat bola:

• Komponen Radial ($E_r$): Mengukur aliran garis gaya keluar-masuk menembus kulit bola.
  
  $$ E_r = -\frac{\partial V}{\partial r} = -\frac{\partial}{\partial r}\left[-E_0\left(r - R^3 r^{-2}\right)\cos\theta\right] = E_0\left(1 + \frac{2R^3}{r^3}\right)\cos\theta $$
• Komponen Polar ($E_\theta$): Mengukur defleksi aliran garis gaya menyusuri kelengkungan sudut.
  
  $$ E_\theta = -\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial \theta} = -\frac{1}{r}\left[E_0\left(r - \frac{R^3}{r^2}\right)\sin\theta\right] = -E_0\left(1 - \frac{R^3}{r^3}\right)\sin\theta $$

Langkah 4 — Penentuan Rapat Muatan Permukaan Terinduksi ($\sigma$).
Berdasarkan kondisi batas elektrostatik Gauss pada permukaan material konduktor ideal, komponen medan tangensial bernilai nol ($E_\theta\big|_{r=R} = 0$), sedangkan komponen radial tegak lurus sebanding dengan kerapatan muatan permukaan lokal:

Faktor penguatan medan pada kutub bola bernilai tepat 3 kali lipat dari kekuatan medan luar. Kontras ini menjadi perbedaan fisis mendasar dari kasus silinder 2D (yang hanya mengalami penguatan 2 kali lipat), menunjukkan pengaruh langsung kelengkungan dimensi ruang terhadap konsentrasi garis gaya listrik.

Untuk mengonfirmasi hukum kekekalan muatan, kita integrasikan profil muatan terinduksi ini sepanjang seluruh elemen luas kulit bola ($da = R^2\sin\theta\,d\theta\,d\phi$):

Hasil integrasi yang bernilai nol membuktikan bahwa bola secara global mempertahankan netralitas muatannya; akumulasi muatan positif di kutub utara ($\theta=0$) dikompensasi secara eksak oleh muatan negatif di kutub selatan ($\theta=\pi$). $\checkmark$

Langkah 5 — Verifikasi Validitas Batas-Batas Fisis Asimtotik.

• Pada jarak ekstrim menjauh ($r \to \infty$): Suku dwi-kutub meluruh $\frac{R^3}{r^3} \to 0$, sehingga medan radial dan polar kembali ke nilai asalnya ($E_r \to E_0\cos\theta$, $E_\theta \to -E_0\sin\theta$), yang secara vektor setara dengan medan seragam tanpa gangguan $\mathbf{E} = E_0\hat{\mathbf{z}}$. $\checkmark$
• Tepat pada wilayah khatulistiwa ($\theta = \pi/2$): Nilai fungsi $\cos(\pi/2)=0$, yang memaksa komponen medan radial jatuh bernilai nol ($E_r = 0$). Fenomena lokal ini menandai **titik stagnasi** di mana komponen medan luar seragam dan komponen dwi-kutub terinduksi saling meniadakan secara sempurna pada permukaan batas. $\checkmark$

Sebuah kulit bola tipis berjejari $R$ memiliki distribusi rapat muatan permukaan yang tidak seragam, yang bervariasi terhadap sudut polar sebagai fungsi kosinus murni, $\sigma(\theta) = \sigma_0\cos\theta$. Tentukan fungsi potensial listrik umum $V_{\text{dalam}}(r,\theta)$ di wilayah interior ($r \leq R$) dan $V_{\text{luar}}(r,\theta)$ di wilayah eksterior ($r \geq R$) yang dihasilkan oleh kulit bola tersebut.

Langkah 1 — Identifikasi Simetri Spasial dan Isolasi Mode Eigen.
Sistem fisis ini memiliki simetri rotasi penuh mengitari sumbu-$z$ vertikal, sehingga tidak bergantung pada sudut azimut ($\frac{\partial V}{\partial \phi} = 0$). Sifat ini menyederhanakan ekspansi potensial umum ke dalam deret tunggal Polinomial Legendre biasa $P_l(\cos\theta)$. Karena profil rapat muatan diberikan sebagai fungsi kosinus murni, kita dapat menuliskan distribusi tersebut langsung menggunakan Polinomial Legendre orde pertama:

Berdasarkan keunikan sifat ortogonalitas fungsi basis, pemicu berupa komponen angular tunggal $P_1(\cos\theta)$ pada batas interface hanya akan mengeksitasi dan mengaktifkan mode tingkat $l = 1$ di seluruh ruang hampa. Seluruh koefisien amplitudo untuk tingkat orde lainnya ($l \neq 1$) secara matematis akan gugur menjadi nol secara mandiri. Oleh karena itu, kita dapat menyusun bentuk solusi komparatif awal untuk kedua wilayah ruang:

• Wilayah Interior ($r \leq R$): Suku peluruhan $r^{-(l+1)}$ wajib dieliminasi karena akan mengalami divergensi tak hingga di pusat poros ($r=0$). Solusi disederhanakan menjadi fungsi linear: $V_{\text{dalam}}(r,\theta) = A_1 r \cos\theta$.
• Wilayah Eksterior ($r \geq R$): Suku pertumbuhan $r^l$ wajib dieliminasi agar potensial meluruh secara fisis dan tetap terbatas pada jarak tak terhingga ($r \to \infty$). Solusi disederhanakan menjadi fungsi invers kuadratis: $V_{\text{luar}}(r,\theta) = \frac{B_1}{r^2} \cos\theta$.

Langkah 2 — Penerapan Syarat Batas Kontinuitas Potensial.
Berdasarkan hukum dasar elektrostatika, fungsi potensial listrik harus bersifat kontinu di setiap titik ruang, termasuk saat melintasi batas permukaan kulit bola tepat pada radius $r = R$:

Persamaan kontinuitas di atas memberikan hubungan langsung antara koefisien interior dan eksterior:

Langkah 3 — Penerapan Kondisi Batas Diskontinuitas Medan Listrik Radial.
Keberadaan muatan permukaan pada antarmuka kulit bola memicu lompatan nilai (diskontinuitas) pada komponen normal medan listrik radial yang menembus permukaan tersebut. Hubungan ini dirumuskan melalui hukum Gauss perbatasan:

Kita turunkan masing-masing fungsi potensial terhadap variabel radial $r$, lalu substitusikan nilainya pada titik batas $r = R$:

Substitusikan hubungan $B_1 = A_1 R^3$ dari Langkah 2 ke dalam persamaan diskontinuitas medan untuk mengisolasi nilai koefisien secara definitif:

Setelah koefisien interior ditemukan, kita kembalikan nilainya untuk mendapatkan koefisien eksterior $B_1$:

Langkah 4 — Formulasi Solusi Analitis Akhir.
Substitusi kedua tetapan koefisien tersebut melahirkan rumusan fungsi potensial elektrostatik yang lengkap dan unik untuk seluruh domain ruang:

• Potensial Ruang Interior ($r \leq R$):
  $$ \boxed{V_{\text{dalam}}(r,\theta) = \frac{\sigma_0}{3\varepsilon_0}\,r\cos\theta} $$
• Potensial Ruang Eksterior ($r \geq R$):
  $$ \boxed{V_{\text{luar}}(r,\theta) = \frac{\sigma_0 R^3}{3\varepsilon_0\,r^2}\cos\theta} $$

Langkah 5 — Interpretasi Fisis Hasil Solusi.
Jika kita ambil nilai negatif dari gradien fungsi potensial di wilayah dalam, kita akan memperoleh medan listrik interior:

Hasil ini sangat menarik secara fisis: meskipun muatan di permukaan kulit bola tersebar tidak merata, interaksi akumulasi muatan tersebut secara geometri justru menghasilkan **medan listrik yang seragam (homogen) dan konstan** di seluruh ruang interior dalam bola.

Sementara itu, fungsi potensial di wilayah luar ($V_{\text{luar}} \propto \frac{\cos\theta}{r^2}$) berperilaku persis menyerupai **medan dwi-kutub murni (dipole field)**. Konfigurasi ini menghasilkan momen dipol fisis efektif sebesar:

Keadaan ini setara secara eksak dengan fenomena fisis sebuah bola dielektrik padat yang mengalami polarisasi makroskopis seragam murni.

Gaya: jarak $q$ ke citranya $2d$, sehingga

Energi: jangan tergoda menulis $W = qV_{\text{citra}}$. Muatan citra bukan benda nyata — ia bergerak bersama $q$, sehingga hanya separuh medan yang "sudah terpasang" saat $q$ dibawa masuk. Cara aman: integralkan gaya,

Kontras dengan sepasang muatan nyata berjarak $2d$, yang energinya $k_eq^2/2d$ (tanpa faktor ½). Tanda negatif: perlu kerja luar untuk menahan $q$, karena sistem "ingin" runtuh ke bidang.

Rapat muatan maksimum (di $\rho = 0$, tepat di bawah $q$): $\sigma_{\max} = -q/2\pi d^2$, dan lebar efektif noda muatan $\sim d$ — mendekatkan $q$ dua kali melipatgandakan $\sigma_{\max}$.

Pemeriksaan dimensi: $[q^2/4\pi\varepsilon_0 d^2] = \text{N}$ dan $[q^2/4\pi\varepsilon_0 d] = \text{J}$. $\checkmark$

Partikel bermuatan $q = -e$ pada jarak $d$ dari permukaan logam ($d$ jauh melampaui jarak antaratom, sehingga model kontinum sah). Energi potensial citranya:

Skala $\text{eV}$ tercapai tepat pada jarak nanometer — inilah potensial citra yang mengikat elektron lemah di atas permukaan dan menjadi bahan analisis emisi termionik.

Aplikasi klasik — penurunan Schottky: dengan medan eksternal $E$ keluar dari permukaan, energi total menjadi $U(z) = -k_ee^2/4z - eEz$. Titik kritisnya:

Kedua suku energi bernilai sama di $z_0$, sehingga tinggi barier turun sebesar

Batas validitas: hukum $1/d$ pasti pecah pada jarak atomik; model citra kontinum hanya dipercaya untuk $d$ jauh di atas konstanta kisi.

Dipol $\mathbf{p}$ pada ketinggian $d$ di atas bidang bertanah. Karena citra tiap muatan titiknya tanda-dibalik dan posisi-cerminkan, komponen tegak lurus dipertahankan arahnya sedangkan komponen sejajar dibalik:

Interaksi dipol–dipol pada pemisahan $2d$ memberikan energi

Dari sini, tanpa hitungan tambahan:

• Rasio orientasi: $U_\perp/U_\parallel = 2$ — dipol ditarik dua kali lebih kuat saat "berdiri" tegak lurus permukaan.
• Torsi citra: $\tau = -\partial U/\partial\theta = -(p^2\sin 2\theta)/(16\pi\varepsilon_0 d^3)$ selalu memutar $\theta \to 0$: bidang bertindak seperti pemampfukan orientasi.
• Skala jarak: $U \propto d^{-3}$, $F \propto d^{-4}$ — jauh lebih lembut dari muatan titik ($d^{-2}$), karena moment dipol terinduksi lenyap untuk bidang netral dalam pengertian ordo terdepan.

Inilah mekanisme dasar adsorpsi fisik molekul polar di permukaan logam, dan alasan film pelumas polar menata diri tegak lurus elektroda.

$q$ berada pada ketinggian $d$ di atas bidang bawah; bidang atas berjarak $L$. Satu citra tidak lagi cukup: setiap citra baru harus dicerminkan lagi di bidang lainnya, menghasilkan tangga tak hingga — $-q$ pada $z = -d$ dan $2L-d$; $+q$ pada $2L+d$ dan $d-2L$; dst. Dikelompokkan per pasangan, gaya vertikalnya:

(Pasangan citra $+q$ simetris di kedua sisi saling meniadakan — hanya suku $-q$ yang bertahan.) Dengan $x = d/L$, bentuk tertutupnya melibatkan trigamma:

Dua pemeriksaan batas yang wajib lolos:

• $L \to \infty$: suku trigamma lenyap, tersisa persis hukum bidang tunggal. $\checkmark$
• $x = 1/2$ (titik tengah): memakai $\psi_1(3/2) = \psi_1(1/2) - 4$, diperoleh $F_z = 0$ eksak — konsisten dengan simetri pencerminan. $\checkmark$ (Kesetimbangan ini tak-stabil: bergeser sedikit ke salah satu bidang, tarikan sisi terdekat menang.)

Pelajaran: metode citra tetap eksak untuk geometri majemuk, tetapi kehilangan bentuk tertutup sederhana; untungnya deret konvergen cepat ($\propto 1/n^2$).

Tiga kontribusi gaya pada $q$ di $(a,a)$:

Resultan tepat sepanjang garis bagi sudut, menuju tikungan. Kejutan yang bisa dibaca langsung dari rumus: bandingkan dengan satu bidang tunggal pada jarak $a$ (gaya $k_eq^2/4a^2$):

Dua bidang justru menarik lebih lemah dari satu bidang — citra $+q$ di belakang tikungan mendorong $q$ menjauh. Penerapan namanya nyata: corner reflector radar (tiga pelat siku) memantulkan gelombang kembali ke arah asalnya; di sini kita melihat versi elektrostatiknya.

Gaya (jarak $q$ ke $q'$: $a - b = (a^2-R^2)/a$):

Dua batas yang harus dilalui setiap rumus citra — dan keduanya lolos:

• Jauh ($a \gg R$): $F \to -k_eq^2R/a^3$. Meluruh seperti $1/a^3$, bukan $1/a^2$ — masuk akal, karena muatan terinduksi total $q' = -(R/a)q \to 0$; yang tersisa hanyalah efek dipol. Kontras dengan bidang, yang muatan terinduksinya konstan $-q$ dan gayanya $1/d^2$.
• Menyentuh ($a \to R^+$): tulis $a^2-R^2 \approx 2R(a-R)$, diperoleh $F \to -k_eq^2/4(a-R)^2$ — persis hukum bidang dengan $d = a-R$. Fisika lokal: permukaan lengkung terlihat "datar" dari sangat dekat. $\checkmark$ (Kontinuitas antara kasus bola dan bidang adalah uji konsistensi gratis.)

Rapat muatan terinduksi:

Rasio kutub terdekat/terjauh:

Muatan menumpuk menghadap $q$; untuk $a = 2R$ rasionya sudah $27$. Sementara $V$ konstan nol di seluruh permukaan — yang bervariasi adalah $\sigma$, bukan $V$. Ini pembeda penting dari kasus bola tak-bertanah di subbab berikutnya.

Gaya pada $q$ = tarikan citra + dorongan muatan pusat:

Suku pertama (dorongan muatan bersih) tumbuh sebagai $1/a^2$; suku polarisasi (tarikan) meluruh lebih cepat. Karena itu selalu ada balik arah untuk $Q$ cukup besar. Syarat $F = 0$ memberikan ambang eksak:

Pemeriksaan batas: $Q^* \propto q\,R^3/a^3$ untuk $a \gg R$ — bola kecil/jauh hanya perlu sedikit muatan untuk menolak, karena suku polarisasi melemah sebagai $1/a^5$. Sebaliknya saat $a \to R^+$, $Q^* \to \infty$: bola yang menempel tak mungkin ditolak hanya dengan muatan bersih. $\checkmark$

Muatan yang "dipermalukan oleh konduktor bermuatan sejenis" inilah mekanisme di balik penyaringan elektrostatik dan pengendapan partikel bermuatan pada elektroda bertegangan.

Kasus yang paling sering muncul di alam: konduktor netral dan terisolasi. Muatan pusatnya $-q' = +(R/a)q$ (kompensasi netralitas), sehingga

Hasil elegan ini wajib begitu: netralitas memakai bola "mengambang" pada potensial lingkungan, dan medan $q$ di pusat adalah sumber itu. Gaya:

Verifikasi silang independen (dipol terinduksi): bola konduktor netral dalam medan luar terpolarisasi dengan moment dipol $p = 4\pi\varepsilon_0 R^3 E_{\text{pusat}} = R^3 q/a^2$. Gaya pada $q$ dari dipol ini (sepanjang sumbu):

Dua metode yang sepenuhnya berbeda (citra eksak vs ekspansi dipol) bertemu di batas jauh — cek konsistensi tanpa satu angka pun.

Perbandingan simbolik tiga varian bola (muatan sumber sama):

Pembumian "mengunci" $V=0$ dengan mengalirkan muatan dari bumi — tarikan maksimum. Bola netral hanya bisa berpolarisasi: sisi dekat negatif, sisi jauh positif, tarikan parsial saling meniadakan.

Posisi citra untuk kawat tipis ($R \ll d$): $a = \sqrt{d^2-R^2} = d\sqrt{1-R^2/d^2} \approx d - R^2/2d$ — garis citra praktis menempel sumbu silinder; ofset $R^2/2d$ baru penting untuk silinder gemuk/rendah.

Medan maksimum. Permukaan silinder ekipotensial, tetapi $\sigma$ tidak rata: $\sigma \propto E$ maksimum di titik terendah $(x,z) = (0,\, d-R)$, sebab di sanalah jarak ke kedua garis minimum sekaligus (garis $+\lambda$ di bawah pusat, garis $-\lambda$ di bawah bidang — titik terendah paling dekat ke keduanya). Hitung jaraknya:

(Penanda arah: $s_+$ positif karena $a^2 - (d-R)^2 = 2R(d-R) > 0$.) Di titik itu kedua medan mengarah vertikal ke bawah dan saling menambah, sehingga jumlahnya diatur seperti pecahan biasa:

Kedua identitas geometrisnya dihitung langsung:

Maka

Batas yang memvalidasi: $d \gg R$ memberi $E_{\max} \to \frac{V_0}{R\ln(2d/R)} = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 R}$ — persis medan permukaan silinder terisolasi. $d \to R^+$: $E_{\max} \to \infty$ — celah yang menutup meledakkan medan. $\checkmark$ Perancang saluran transmisi membandingkan $E_{\max}$ ini dengan kekuatan dielektrik udara ($\approx 3$ MV/m) untuk menetapkan margin korona.

Gaya tarik per satuan panjang — dua jalan yang harus cocok:

Jalan 1 (Coulomb langsung). Medan garis $-\lambda$ pada jarak $2a$ dari garis $+\lambda$ adalah $E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 (2a)}$, sehingga gaya pada silinder (muatan $\lambda$ per panjang):

Jalan 2 (energi, pada $\lambda$ tetap). Energi sistem per satuan panjang adalah $U = \tfrac{1}{2}\lambda V_0$ (faktor ½ lagi: citra bergerak bersama muatan nyata — pelajaran Contoh 3.8). Dengan $V_0 = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\operatorname{arccosh}(d/R)$ dan turunan

diperoleh

Cocok persis. Catatan subtil: bila sistem dipegang pada $V_0$ tetap (baterai tersambung), energi "sistem" saja bukan energi potensial mekanik yang benar — baterai ikut berkerja — dan rumus yang tepat adalah $F/L = +\tfrac{1}{2}V_0^2\,\frac{dC'}{dd} < 0$, yang dengan $\lambda = C'V_0$ memberikan hasil identik. Gaya tumbuh tak terbatas saat $d \to R^+$ (menempel) dan meluruh sebagai $1/d$ saat jauh.